22 IV. Anton Grünwald: 



Dreht man die zu einem bestimmten Typus gehörende Meridiankurve 

 um die Achse r\ des Kreises $, so beschreibt sie eine Umdrehungsfläche, 

 welche der Ort ist für die Scheitel P aller Kegel dieses Typus über der Basis $t- 



Zum Beweise aller Behauptungen der Tabelle brauchen wir die 

 folgende Darstellung der Abstände £, q des Scheitels P eines 

 allgemeinen Kegels zweiter Ordnung (Gl. V) von der Achse und 

 von der Ebene des auf ihm gelegenen Kreises $ vom Radius r: 



! * = ± ikr Vü+fc'«) wa-tg 2 ß), I 



{ 9 ) • • ■ (6) 



d. h. die Darstellung vom £, t\ durch die — nur von den Achsen des 

 sphärischen Kegelschnittes abhängigen — Koeffizienten der Gleichung (1'). 



Wir leiten diese für uns wichtigen Beziehungen (6) aus der Figur 4 des 

 charakteristischen Dreieckes F 1 F 2 P (eines allgemeinen Kegels mit der Gl. 1') her. 

 Die Koordinatenachsen $ und r\ (und ebenso die beiden Kegelachsen y und z durch 

 den Kegelscheitel P) liegen in der Ebene unseres Dreieckes, der Zeichenebene. 

 Die auf den Neben-Scheitelkanten des Kegels gelegenen Seiten 



PF 1 — r, und PF 2 = r 2 



des charakteristischen Dreieckes haben die Kegelachsen y und z zu Winkelhalbie- 

 enden. Die innere Kegelachse z, welche mit den beiden genannten Seiten den 

 Winkel ß bildet, trifft die Basis F 1 F 2 unseres charakteristischen Dreieckes (d. h. 

 den in die Zeichenebene, auf die Achse £ fallenden Durchmesser des Kreises #) 

 m Punkte M und schliesst dort mit der Achse I den Winkel <p ein, da die Ebene 

 (IC") von Ä zu einer der beiden zyklischen Ebenen (* oder *') des Kegels paral- 

 lel ist. 



Bei F v ist demgemäß der Außeuwinkel ^C. S F l P des charakteristischen Drei- 

 eckes F, F 2 P gleich <p -f- ß, bei F 2 der Innenwinkel $££ F 2 P gleich <p — ß ; 63 

 wird das Verhältnis der Seiten dieses Dreieckes 



r, : r 2 : 2 r zz sin (<p — ß) : sin (<p + ß) : sin 2 ß . . (*). 

 Nun ist im Dreiecke MF X P . . . MF 1 ~F 1 P ' 

 im „ F 2 MP . . . F 2 M — F 2 P 



daher 2 r = 2 . j<\0 = F 2 F, zz F 2 M -f MF, 



j '~ sin <f /t*\ l 



und somit . . . . r» -Í- r, zr2r — — -K ) uü ^ 



r- ! 



sin 



' 1 - ! 



y Sin <p 



sin 



ß sin ß 



sin 



<p sin <f 



('• 



, % sin ß 



i + >'J — 



sm q> 



ZZ 7 



i sin <f cos q> 



sin ß uuu l \sinß cosß 



hier 



(A) 



Aus C) und {") folgt r. — ' r. == 2 r cos 9 aus r — r is_in._v_ , ^f_? 



cos ß l \ sinß -T cosß) 



Die zur Basis F x F 2 zz 2 r gehörige Höhe ^ des charakterischen Dreieckes, 

 .F, F 2 P wird sich (abgesehen vom Vorzeichen, welches unbestimmt bleibt) durch 



