28 IV. Anton Grünwald: 



III. Bifokale Abbildung und Einteilung der allgemeinen 



Kreiskegel. 



§ 8. 



DieLagenbeziehung zwischen denScheiteln zweier 

 Kegel von zu einander absolut-polarer Form über dem- 

 selben Basiskreise $. [„Bifocale Beziehung" in der Me- 

 ridianebene (£,>/) dieses Kreises.] Der Typus der zu 

 ihren Polarkegeln kongruenten Kegel 



(tg 2 a.tg 2 ß=l, a + ß = 90°). 



Die Meridiankurve jener Dr eh fläche, auf welcher die 

 Scheitel der Kegel dieses neuen Typus liegen, wenn als 

 Kegelbasis derselbe feste Kreis $ (rj — 0, £ 2 -f-£ 2 = r 2 ) an- 

 genommen wird: Die Koffeide k [Der Ort von Punkten 

 der Meridianebene (£, rf) dieses Kreises, die bifokal sich 

 selbst entsprechen.] 



Jeder reelle Kegel mit den sphärischen Halbachsen a und ß 

 i n = ß) hat einen (absoluten) Polarkegel 1 ) mit den Halbachsen ď = 

 90° — ß und ß' = 90° — cc. («' >: ß'). Er ist also zu seinem eigenen 

 Polarkegel dann und nur dann kongruent, wenn 



cc -f- ß = 90° 

 ist. Kegel dieses (neuen) Typus sollen 



„mittlere" oder „zu sich selbst polar kongruente" 2 ) 

 genannt werden, jene dagegen, bei welchen 



a-j- ß <; 90° ist, sollen „scharf", und jene, bei welchen a -J- ß ;> 90° 

 ist, „flach" heißen. 



Wegen der für die Kegel des mittleren Typus giltigen Gleichung 

 tg 2 a . tg 2 ß = 1 folgt 



mit Rücksicht auf (3') (§ 2) tg 2 q> = —, r ) 



J ^ J *y« — l , daß für dieselben 



und „ n (5') (§ 2) tg*1>=tg*a-l\ 



auch tg' 2 <p . tg-i\) =1 d. h. <p -\- ip — 90° ist. 



Umgekehrt folgt (aus 3' und 5'): Wenn die Gleichung 



tp-\-1> = 90°, also tg 2 <p . tg 2 ip = 1 



bei einem Kegel zweiter Ordnung erfüllt ist, ohne daß a — ß, 



tg 2 a — tg 2 ß = 0, d. h. ohne daß der Kegel ein Drehkegel (<p = 90°, 



^ = o) ist, so ist auch 





