30 IV. Anton Grünwald: 



eigenen Polarkegel, in welche Lage auch immer man den letzteren durch starre 

 Bewegung bringen möge. — 



In der Figur 3 wird jeder Kreiskegel P (ß) durch einen Punkt 

 P als Scheitel (nebst den ihn begleitenden, symmetrisch zu P bzl. der 

 Achsen £, r t in den drei anderen Quadranten gelegenen Punkten) darge- 

 stellt, durch den^bifokalen Repräsentanten" der betreffenden Kegelform. 

 Wir können nun bei jedem Punkte P (£, r t ) der Ebene unserer Figur 

 fragen nach dem in derselben Meridianebene (£, vi) gelegenen Scheitel 



P g', 7-i') 

 des polar -kongruenten Kegels über demselben festen Basiskreise 

 $ (£* -j- £ 2 — r 2 , 7] = o)}) Diese Beziehung zwischen P und P ist 

 eine völlig wechselseitige, so dass wir Konstruktionen und Formeln 

 (§ 10) zu erwarten haben, welche ungeändert bleiben, wenn man P 

 mit P', also £ mit £' und zugleich 7] mit 7j' vertauscht. Wir wollen 

 sie als eine „bi fokale" Beziehung und die Punkte P und P' als 

 „einander bifokal entsprechend" oder als „bifokale 

 Bilder von einander" mit Bezug auf die beiden „Fokalpunkte" F l und 

 F„ (als „Pole") bezeichnen. „Bifokal einander entsprechende" Punkte 

 sind „bifokale Repräsentanten" zweier zu einander absolut-polarer 

 Kegelformen. 



Jede Kurve der |, 7] Ebene, bei welcher zu jedem ihrer Punkte 

 der bifokal — bezüglich zweier „Fokalpunkte"[(oder „Pole") F t und 

 F 2 — entsprechende ebenfalls auf der Kurve liegt, soll „b i fo- 

 kal zu sich selbst" oder „aut obi fokal" genannt werden (in 

 Anlehnung an die Bezeichnung ; ,anallagmatisch" bei einer bezüglich 

 eines Inversionskreises zu sich selbst inversen Kurve.) 



ist der Fall bei allen Kegeln unseres „mittleren- Typus (« -f- /5=z 90°): Jeder 

 Kegel dieses Typus kann aus seinem Polarkegel gewonnen werden oder man kann 

 umgekehrt jeden Polarkegel eines mittleren Kegels aus dem letzteren selbst er- 

 zeugen, indem man den einen der beiden in Rede stehenden Kreiskegel um die 

 gemeinsame innere Achse z herum um 90' dreht oder, /was hier auf dasselbe hinaus- 

 läuft, denselben an einer der beiden Ebenen (yz=z + x) spiegelt, welche durch die 

 z Achse gehen und die Winkel der durch diese Achse z gehenden Symmetrie- 

 ebenen des Kegels halbieren. 



*) Die durch einen Punkt P' (£', i]') bestimmten, P' egleitenden d. h. zu 

 P' bezüglich der f und rj Achse symmetrischen Punkte (+?', + if) erwähnen wir 

 der kürzeren Redeweise wegen oft nicht besonders, sondern sprechen lieber von 

 einer Beziehung zwischen den Punkten P und P als zwischen den (symmetrischen) 

 Punktquadrupeln. Wir können am bequemsten P und P' im selben (ersten) Quad- 

 rantengelegen annehmen : P(-f- f, +'fl) und p ' (+ f i + V'), um es nur mit positiven 

 Koordinaten f, y zu tun zu haben. 



