32 IV. Anton Grönwald: 



k jene der „flachen" Kegel über $, die sich paarweise bifokal ent- 

 sprechen. (S. 30.) . Die Koffeide & ist die einzige (in der Ebene 

 (£> v) gelegene, durch die Pole F v und F 2 bestimmte) „Kurve der 

 autobifokalen Punkte". Dieser Begriff ist wohl zu unter- 

 scheiden von dem obigen Begriff einer «autobifokalen Kurve", 

 welcher letztere eine große Manigfaltigkeit von Kurven 

 umfaßt, z. B. in der Figur 3 die zerfallenden Kurven ab, ef, cd und 

 hg, deren (nichtzerfallende) Züge a und b, e und /, c und d, h und 

 g einander bifokal entsprechen. 



Wegen des Entsprechens dieser Züge entsprechen sich auch in der Figur 

 3 die Scheitel jener höher-speziellen Kegel der Tabelle des § 6 bifokal, welche 

 dort bezüglich der Hauptdiagonale symmetrisch angeordnet wurden, z. B. (ad) 

 und (bc) u. s. w. 



Wandert ein Punkt P in dieser Figur von 



F x aus (anfänglich in der zur Í Achse 

 * senkrechten Pachtung) 



so wandert der ihm bifokal ent- 

 sprechende Punkt P (vom N t aus) 



:auť der Linie a bis zu ihren Schnitt- auf der Linie b bis zu ihren Schnitt 



punkten mit g und d, punkten mit h und c 



oder auf der Linie e bis zu ihren bzw. auf der Linie f bis zu ihrem 



Schnittpunkten mit g, d, f Schnittpunkten mit h, c, c^ 



oder auf der Linie c bis zu ihren bzw. auf der Linie d bia zu ihren 



Schnittpunkten mit g, d, f, b Schnittpunkten mit h, c, e, a 



oder auf der Linie h bis zu ihren bzw. auf der Linie g bis zu ihren 



Schnittpunkten mit g, d, /, b, Schnittpunkten mit h, d, f, b. 



Wenn hiebei, den hier fett gedruckten Buchstaben entsprechend, P mit P' 

 zusammeastösst, so geschieht dies nur auf der Koffeide Je, denn der betreffende 

 Punkt ist autobifokal, er ist der Scheitel eines „mittleren" oder „zu sich 

 selbst polarkongruenten" Kegels ; z. B. der Scheitel P (= ef) oder Fi (= cd) 

 oder P\i (—hg) des betreffenden höher-speziellen Kegels in der Figur 3. 



Das wichtigste Beispiel einer nichtzer fallenden auto- 

 bifokalen Kurve bietet in der (£, y) Ebene jede Hyperbel 

 des Konfokals y sternes mit den Brennpunkten F 1 

 und F 2 (+ r, o); z. B. £> in der Fig. 4. Für alle auf einer solchen 

 Hyperbel gelegenen Scheitel P von Kegeln über ® als Basis ist näm- 

 lich — wie wir im nächsten § 9 beweisen — das Verhältnis 



/, - konstant und behalt wegen ' _„„ denselben Wert 



tg 2 a ° \u -)- 3' = 90°/ 



auch im Punkte P: \-~-r = -A — l; P muß also auf derselben 

 \ tg l a' tg z a j 



Hyperbel des Konfokalsystemes F x F., liegen, wie P; d. h. jede solche 



Hyperbel ist autobifokal. Von ihren reellen Punkten ist nur 





