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IV. Anton Grünwald: 



Die ebenfalls zu einander symmetrischen Ergänzungs- 

 bogen dieser beiden Kreise, welche von P durch F 1 auf der 

 einen, F 2 auf der anderen Seite getrennt sind, gehören nicht 

 zu demselben, sondern zu dem supplementären Werte der 

 sphärischen Nebenachse. 



Vgl. ß in der Fig. 6 beim Schnittpunkte c des durch P, 

 .Fj und F 2 gelegten Kreises S mit der rj Achse. 



Der Kreis e der Figur 3 gehört ebenfalls (für /9 = 45°) 

 zu unserem Kreisbüschel mit den Grundpunkten F l und F. À . 



Es ist ferner 



<jp = k o n s t. auf dem durch den beliebigen Punkt P (£, t?) der 



(Bei Kegelfor- Zeichenebene gelegten und von F L und F 2 begrenzten 



men mit der Bogen jener gleichseitigen Hyperbel 4>, 



gleichen deren Mittelpunkt der Mittelpunkt O von 2 (und des 



zyklischen Hyperbeldurchmessers F r F 2 ) ist und deren Asymptoten 



Halb weite, zu den Winkelsymmetralen von PF l und PF 2 parallel 



bei den sind (Fig. 4) und ebenso hat <p denselben Wert 



Formen auf dem zum vorigen bezüglich der | Achse sym- 



konzy- metrischen Hyperbel bogen. 



klischer 



<p bleibt (analog wie ß auf den Kreisen durch Fi und 



Kegel.) 2^) auf dieser Hyperbel O nur solange konstant, als der auf 



<i> beweglich gedachte Punkt P weder über F l noch über F 2 

 hinübergeht; passiert er dagegen F l oder F 2 , so geht <p in den 

 komplementären Wert über. 



Zum Beweise suche man den auf eine beliebige Pa- 

 rallele zur inneren Winkelsymmetralen von F 1 PF 2 (welche 

 ja mit der Achse $ den Winkel q> bildet) fallenden Punkt der 

 fraglichen Kurve, für welchen (als Kegelscb eitel) y denselben 

 Wert haben soll wie für die Scheitellage in P: Auf jeder 

 solchen Parallelen erhält man einen solchen Punkt im 

 Endlichen, falls sie die i Achse zwischen F x und F 2 

 schneidet, indem man einen der beiden Pole F X F 2 (gleich- 

 giltig, welchen) an der Parallelen spiegelt und das Spiegelbild 

 dieses Poles mit dem anderen der beiden Pole verbindet; diese 

 Verbindungsgerade trifft die angenommene Parallele im ge- 

 suchten Punkte. Letzterer wandert aber auf der oben geschil- 

 derten gleichseitigen Hyperbel, wenn man eine andere 

 und wieder eine andere Parallele (zur vorigen) wählt. 



Sobald man aber eine Parallele (zu den vorigen) wählt, 

 welche die Achse f in einem ausserhalb der Strecke F l F i 

 gelegenen Punkte schneidet, gelangt man so zu Punkten l' 

 statt P, bei denen die angenommene Parallele keine innere, 

 sondern eine äußere Winkelsymmetrale von F l PF 2 ist, 





