42 IV. Anton Grünwald: 



irgend zwei anderen gegebenen Stücken unter den fünf: (cc, -^-, ß, 



tg a 



qp, y) zu konstruieren. 



Die Angabe von ß und n> z. B. liefert P als Schnittpunkt eines Kreises 

 des durch die Grundpunkte F Y F 2 bestimmten Büschels mit einem (den vorigen 

 orthogonal schneidenden) Kreise *P des aus den Punktkreisen F t und F 2 linear 

 ableitbaren Büschels. 



§ 10. 



Konstruktion bi fokal entsprechender Punkte. Ko- 

 ordinatenberechnung hiezu. 



Ist ein Kegel durch seine Basis ® (| 2 -j- £ 2 = r 2 , tj = o) und 

 seine in den £17 Ebene beliebig angenommene Spitze P (£, rj) gege- 

 ben, so ist der Scheitel P' (£', rf) des zu dem ursprünglichen 

 Kegel P (®) polarkongruenten Kegels über derselben Basis 

 ® anzugeben. Mit anderen Worten (nach § 8): Wir haben zu P das 

 — bezüglich der Pole F 1 und F 2 — Mfokale Bild P' zu konstru- 

 ieren. *) 



Die Entwicklungen des vorigen Paragraphen setzen uns in den Stand, auf 

 mehrfache Art P' zu konstruieren. 



Wir könnten etwa (Figur 6) durch P — entsprechend der Kegelformbestim- 

 mung aus a und ß vorgehen und — erstens die Ellipse © des Konfokal- 

 systemes mit den Brennpunkten F x und F 2 legen, für deren Punkte (als Scheitel 

 von Kegeln über $) die halbe sphärische Hauptachse a. konstant und also gleich 

 jenemiWinkel ist, welchen die aus dem Hauptscheitel e von (E an {ßt, daher auch 

 an) den Kreis e gelegte Tangente mit der £ Achse bildet: Die durch i^ zu dieser 

 Tangente gelegte Parallele möge die 77 Achse im Punkte c' treffen. Der Kreis- 

 bogen, welcher c' mit F 1 und F 2 verbindet, sei mit &' bezeichnet. Für alle 

 Punkte dieses Kreisbogens (£' als Scheitel ist dann die halbe sphärische Neben- 

 achse des Kegels über & konstant: ß' =^Oc' F, =z90° — k. 



Legt man dann zweitens durch P, F 1 und F 2 den Kreis S, dessen 

 Bogenteil F 1 P F 2 , für welchen [als Ort von Kegelscheiteln P (&)] ß konstant ist; 

 und welcher die 17 Achse in c schneiden möge {ß ~^C.O c FJ, legt dann paral- 

 lel zu F l c an e eine Tangente, welche die f Achse in e' trifft, so ist die durch 

 e' als Hauptscheitel bestimmte Ellipse ď des Konfokalsystemes mit den Brenn- 

 punkten F t und F 2 der geometrische Ort aller Punkte, von denen (als Scheitel 

 aus) & durch Kegel mit dem konstanten Werte der halben Hauptachse a' proji- 

 ziert wird ; hiebei ist a' — dem Winkel der Tangente aus e' an e mit der £ Achse 

 (a' zz 90° — ß). Da zufolge der Benützung der beiden oben genannten Parallelen 

 a' — 90° — ß und /?' = 90°— a ist, liegt das bifokale Bild P' von P schon 

 vor im Schnittpunkte von £' mit S'. 



') Vgl. die Fußnote x j auf S. 30. 



