Die bifokale Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 43 



Dieser und anderen möglichen Konstruktionen des bifokalen 

 Bildes P' eines beliebigen Punktes P ziehen wir indessen folgende 

 Konstruktion vor, welche mit Lineal und Zirkel allein 

 ausführbar ist: Figur 8. 



Sie arbeitet — statt wie die vorige mit den beiden sphärischen Kegel- 

 achsen , — mit den sphärischen Halbweiten, der zyklischen, , und der fo- 



kalen, , und schliesst sich au die im vorigen § 9 gegebene Kegelkonstruktion 



(aus <p und y) an. Da aus deu Halbweiten <p und ip, welche zu P gehören, jene 

 Halbweiten q>' und %p', welche zu P' gehören, gemäß den Gleichungen 



<p' = 90° — i/-, V = 90° — v 

 zu bestimmen sied und wir (nach § 9) P' aus 9' und V mit dem Zirkel konstruieren 

 können, verfahren wir wie folgt : 



„Der Winkel bei P im charakteristischen Dreiecke F x P JF 2 des 

 gegeben Kegels P(®) habe zur inneren Winkelsymmetralen die Ge- 

 rade 2, deren Schnittpunkt mit der £ Achse mit M, und zur äußeren 

 Winkelsymmetralen die Gerade.«/, deren Schnittpunkt mit der £ Achse 

 mit N bezeichnet werden möge. Man ziehe im Quadranten des Punk- 

 tes P bei dem (in der Dreiecksebene über F x F 2 als Durchmesser ge- 

 zeichneten) Kreise e den Radius OR' parallel zu MP (d. h. zu z) 

 und in R die Kreistangente P! N' bis zu ihrem Treffpunkte N' mit 

 der £ Achse. 



Der Radius OR' von e möge zur orthogonalen Projektion auf 

 die | Achse OM haben. Man verzeichne nun jenen (im Quadranten 

 von P gelegenen) Radius OR von e, welcher zur orthogonalen 

 Projektion auf die | Achse OM hat. Dann liegt das gesuchte bifo- 

 kale Bild P'des Punktes P vor im Schnittpunkte der durch 

 M zu OR gezogenen Parallelen z' {=M'P') mit der durch N' zu 

 NR gezogenen Parallelen y' (=zN ř P)." 



Diese Konstruktion läßt die Vertauschbarkeit der bifo 

 kalen Beziehung zwischen P und P' deutlich hervortreten. 



Um die Beziehung zwischen den Koordinaten (£, t\) und (£', rf\ 

 bifokal (einander) entsprechender Punkte P (£, n) und P 

 (£', 7\') rechnerisch zu verfolgen, setzen wir der Kürze wegen 



tg % a = r, tg*a' — r', 



\ Wß^% tg>ß' = t)', 

 und haben dann aus den Gleichungen (6)- des § 5 oder 



£ 2 





r 2 







— — 



— a , 



r 2 



. 



a 



r ■ 









il 



— b, 



7]' 2 







b 



r' 1 





r~ 







(7) 



I 



