Die bifokale Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 45 



p ri- 



- 1, welcher | , % genügen müssen 



£ 2 = 

 r' cos* a r* sm^ a 



= r 2 cos 2 a (1 -f- sin ci), also in den laufenden Koordinaten £, 77, welche 



wir hier wiederum statt £ , tj setzen, jene Para m enter gleich- 



ungen der KoffeideÄ (der Ortes der autobifokalen Punkte 



der Ebene [£, rf\ Fig. 3 und 5) 



j £ == + r cos a "V 1 -+- sm a 

 1 17 zz + r sin a y s * w n 



(10) 





welche die Schnittpunkte dieser Linie mit jeder Hyperbel 



es. g V _ , (a ist der Winkel der Hyperbel- /-. -j \ 



' r 2 cos 2 a r 2 sin 2 a asymptoten mit der f Achse) ' ' 



des Konfokalsy sternes (F l F 2 ) ersichtlich machen. 



Eine bequemere Parameterdarstellung der Koffeide soll im 

 nächsten § 11 angeführt und zur Konstruktion der Fig. 5 benützt 

 werden. Hier ist es für uns wichtig, daß wir auf jeder Hyperbel^) 

 des Konfokal systém es {F X F 2 ) die 4 bezüglich der £ und 1] Achse 

 symmetrischen autobifokalen Punkte (+£„, + % ; Koffeidenpunkte) 



f £ =r r cos a V 1 + síň al. ... , 



gemäß j ' i_ • konstruieren können und 



{ ?/ zr r st» a y sin a I 



wissen, daß auf jeder solchen Hyperbel das Produkt 

 f-f- y 7i') der Ordinaten i], v\' der bifokal einander ent- 

 sprechenden Punkte konstant =z ^5 ist. 



Hiemit hat man eine Übersicht darüber gewonnen, wie sich 

 alle bifokal entsprechenden Punkte (eigentlich die bezüglich der 

 Achsen £■, rj symmetrischen Punktquadrupel) in der Ebene verteilen. 

 Insbesondere auf der rj Achse entspricht jedem Punkte P (und 

 zugleich dem ihm bezüglich des Anfanges symmetrischen Punkte) 

 der von ihm durch die Schnittpunkte der 17 Achse mit dem Kreise e 

 (beide sind in der Figur 3 mit Pi bezeichnet) harmonisch getrennte 

 Punkt P' derselben Achse (sowie dessen Spiegelbild bezüglich 0). 



Z. B. die mit F* bezeichneten beiden Punkte der rj Achse in der Figur 3, 

 die Scheitel der Umdrehnngskegel Schröters über ß. (£ 2 -f- !* = o, ^ = 0) als 

 Basis, entsprechen bi fokal den beiden mit P*' bezeichneten Punkten der 

 7 Achse, den Scheiteln der UmdrehuDgskegel Monges über dem Basiskreise $ 



Auf der £ Achse dagegen zeigen die b i f o k a 1 ent- 

 sprechenden Punkte folgendes merkwürdige Verhalten : 



Dem Anfange entspricht bifokal der unendlich ferne Punkt der ij Achse. 

 Bewegt sich ein Punkt P auf der £ Achse von bis zu einem der beiden Pole 

 F x oder F 2 hin, so bewegt sich der bi fokal entsprechende Punkt P' auf 



