46 IV. Anton Grünwald: 



der unendlich fernen Geraden der (f, y) Ebene als der Schnittpunkt dieser Ge- 

 raden mit der durch P bestimmten Hyperbel § des Konfokalsystemes F 1 F 2 . 



Rückt P in einen der beiden Punkte F l oder F 2 hinein, etwa nach F t , so 

 entspricht ihm als bifokales Bild P' jeder außerhalb der Strecke F t F 2 ge- 

 legene Punkt der Achse f und umgekehrt. P' nähert sich aber einem b e- 

 stimmten außerhalb der Strecke F t F 2 gelegenen Punkte der Í Achse 1 ), wenn 

 P sich dem Punkte F v unmittelbar von einer bestimmten Seite (in der 

 Ebene) nähert: (F^^^F^ vgl. im §9 bei /S^zkonst.) Geschieht dies so, daß 

 der AVinkel ^CF 1 PF 2 den Grenzwert 2 /Sannimt, so hat P' auf der f Achse vom 

 Anfange O (den Abstand i- sec «', also, da a' = 90° — /? ist) den Abstand ?- co- 

 sec ß. Ist P genau i n F u so ist P', wie schon gesagt, auf der Außenstrecke F x 

 F 2 völlig unbestimmt. Rückt dagegen der Punkt P in derselben Richtung, in 

 welcher er zu F v hin kam, weiterschreitend über F ] hinaus, so daß ^ F t P F 2 

 sprungweise von 2 ß zum Werte 180" — 2ß übergeht, so springt P' vom Punkte 

 (?• cosec ß) zu jenem Punkte der Außenstrecke F 1 F 2 , welcher von O die Ent- 

 fernung r cosec (90° — ß) — v sec ß (= r cosec «') hat und geht von dort 

 weiter 2 ). 



[Man mache sich dieses merkwürdige Verhalten klar an zwei bzl. der Achse 

 £ symmetrischen Kreisen, welche F 1 F 2 zur Sehne und über dieser Sehne den 

 Peripheriewinkel 2 ß anf dem einen, bzw. 180° — 2 ß auf dem anderen Paare 

 hrer symmetrischen, von F, und F 2 begrenzten Bogenteile haben. Dem zu 



2 ß 



als Peripheriewinkel gehörigen symmetrischen Paare von Bogenteilen 



entspricht bifokal diejenige Ellipse des Konfokalsystemes F x F 2 , deren große 



ö . , rcosec/5. tl 

 Halbachse „ ist] 



r s ec ß 



Nach dieser gewonnenen Übersicht über die Verteilung der bifokal einander 

 entsprechenden Punkte P (f, r\) und P' ({', rf), zu welcher uns die Folgerungen 

 aus Gl. (9), bezw. (9') befähigten, setzen wir unsere rechnenden Betrachtungen 

 fort. — 



Die Größe — der Gleichung (9) ist als — = f~-=. sin 2 a leicht 

 r & r tg 2 a 



durch a (=^j und b 1= \\ , (Gl. 7) zu bestimmen, sie ist der Gl. (11) 



^er % -±- = 1 (11') 



1 — sur a sin- a 



zu entnehmen als die positive Wurzel dieser für sin 2 a quadrati- 

 schen Gleichung. 



l ) Von dem bezüglich symmetrischen reden wir nicht, er ist stillschwei- 

 gend mitgenommen. 



*) Die Sprunglänge ist f&r 2 ß = 90°, oo für 2 ß — 180°, sonst endlich 

 und von Null verschieden . 2 ß = 90°, also keine Spurlänge des bifokalen Bild- 

 punktes [P' =: xV, (und N 2 ) Fig. 3.] entspricht der Annäherung von P an F x auf 

 Linien, die wie die Linien a, e, c, h der Fig. 3 die Achse f bei F, senkrecht 

 durchsetzen. 



