48 Anton Grünwald: 



Um zu einem beliebig gegebenen Punkte P (£, tj) den ihm bifokal ent- 

 sprechenden Punkt P (£', 17') koordinatenmäßig zu berechnen, kann man zuerst 

 die negative Wurzel /., der nur von f und t] abhängigen Gleichung (13) be- 

 stimmen ; dann ergibt sich 17' aus (14), f ' aus (14'). Bequemer ist aber, gleich 

 beide Wurzeln A, und ). t der Gl. (13) zu bestimmen und daraus £' und rf ab- 

 zuleiten. Vel. die Fußnote auf der Seite 51. 



§ 11- 



Darstellung der bifokalen Beziehung in ellipti- 

 schen Koordinaten. Die Koffeide. 



In den beiden elliptischen Koordinaten \ (positiv) und A 2 (ne- 

 gativ), den Wurzeln der in 1 quadratischen Gleichung (13) stellt sich 

 die bifokale Beziehung der Punkte P (|, r,) und P (£', 17') besonders 

 eiufach dar. 



Es seien ?. 1 , A 2 die positive und die negative elliptische Koordi- 

 nate von P, und X\, K\ die positive und die negative elliptische 

 Koordinate von P. 



Der Vergleich von (13) mit: 

 (11) im § 10 lehrte schon, daß — A 2 =z sin 2 a sei, I 

 (6*) im § 9 lehrt ebenso, „ A, = cotg 2 a ist. J ■ • ( 15 ) 



Wir sahen schon, daß, A 2 (und 0) für P und P dasselbe sei, 

 da beide Punkte auf derselben Konfokalhyperbel liegen : A' 2 — A 2 , . . I 

 und suchen nun noch die Beziehung zwischen l x = cotg^a (15) und 

 A/ = cotg^a 4 — tg 2 ß (wegen a'-\-ß = 90°). 



Diese erhält man durch Multiplikation der eben angesetzten 

 "Werte : 



\v 



tg°-ß 



1 = -irr- — sm-a 



1 tg l a 



(Vgl. 



( ,, 

 -DI 



im § 9 Gl. 6 a.) 



„ § 10 Gl. 12). 





(i + 1) ir 2 





die Gleichungen 



a_-_a- f 



1 

 b' — b — — 



1 



1 



• 





(10') 



bestehen, so daß P mit P' zusammenfällt. Diese Gleichungen (10') geben im Wesen 

 dieselbe Darstellung der Koffeide wie die Gleichungen (10). Es zeigt sich hier 

 durch Vergleichung von (10) mit (10'), daß für die Punkte der Koffeide die Glei 



chung gilt : (— - = ) àotg 2 a — (-+-) sin a, (10") 



welche im Wesen mit der Koffeidengleichung III des folgenden § 11 gleichbe- 

 deutend ist. 



