Die bifokale Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 49 



Die Gl. I. und A 1 A 1 / = — l., II, 



oder zusammengefaßt 



(I , IL) \ i ' 3 ' Sin( ^ " ie überaus ein- 



fachen Gleichungen der bifokalen Beziehung in ellipti- 

 schen Koordinaten: „Bifokal einander entsprechende Punkte 

 haben die gleiche zweite (negative) elliptische Koordinate. Das 

 Produkt ihrer ersten (positiven) elliptischen Koordinaten ist dem 

 absoluten Werte der zweiten (negativen) Koordinate gleich." 



Insbesondere ergibt sich durch Gleichsetzung von A t mit A x ' die 

 in elliptischen Koordinaten geschriebene Gleichung 

 der Koffeide: 



V -f 2 2 = o x ) . . III. 



„Bei Punkten der Koffeide ist das Quadrat der ersten (po- 

 sitiven) elliptischen Koordinate dem absoluten Werte der negativen 

 (zweiten) elliptischen Koordinate gleich." 



Die Konstruktion der Koffeide (Figur 5), für welche 

 a -f- ß = 90° und daher auch <p -\- 4> = 90° gilt, gestaltet sich be- 

 deutend einfacher, wenn man statt des Parameters a [oder o wie in 

 den Gl. 10, (10' ; 10")] den Parameter i}> oder <p heranzieht. 



Wir haben im § 9 gelernt (S. 38), wie man P aus <p und y konstruiert. 

 Zieht man zu einer beliebigen Tangente des Kreises e (über F { F 2 als Durch- 

 messer), z. B. jener im Punkte R, (welche die Achse f in N treffen möge), das 

 Lot MP aus dem Schnittpunkte M der Achse f mit der zu ihr durch R gelegten 

 Senkrechten, so sind für den Punkt P (f, »/) als Scheitel nach den Entwicklungen 

 des § 9 die Winkel y und <p im 



V = < MNR 



cp — ^Z PMN (hier auch = < RON) 

 abzulesen. Da diese aber hier komplementär ausfallen — ohne daß P auf der 

 Achse >/ liegt, d. h. ohne daß <t — 90°, i/> = o ist 2 ) —, liegt P auf der Koffeide 

 lind wandert auf ihr, wenn R sich auf dem Kreise e bewegt: 



(Figur 5.) „Um eine Koffeide mit den reellen Spitzen 

 F 1 und F 2 zu konstruieren, projiziere man den Berührungspunkt R 

 einer beliebigen Tangente des über F 1 F 2 als Durchmesser be- 

 stimmten Kreises e orthogonal auf diesen Durchmesser F 1 F^ nach 

 M\ der Fußpunkt P des aus M auf die ursprüngliche Tangente ge- 

 fällten Lotes ist stets ein Punkt dieser Koffeide." 



') Diese Gleichung bedeutet zufolge (15) dasselbe wie die Gleichung (10") 

 in der vorigen Fußnote. 



2 ) Aus (3') und (5') in § 2 folgt, daß bei 9 + y= 90° entweder « -f ß — 

 = 90° oder a = ß, d. h. g»zz90°, v = o sein muß, d. h. P auf der Koffeide 

 oder auf der rj Achse liegt. 



Sitzber. 4L. kön. böhm. Ges. d. Wiss. II. Classe. 4 



