Die bifokaln Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 51 



Spiegelbild mit dem anderen Endpunkte des Durchmessers, so trifft 

 die Verbindungsgerade die Tangente in einem Punkte der durch die 

 Spitzen F, und F 2 bestimmten Koffeide." 



Die Gleichung der Koffeide in den gewöhnlichen Kar- 

 tesischen Koordinaten ist aus jener in elliptischen Koordinaten 

 (III) leicht abzuleiten: Setzt man in der Identität 

 /(*) ■= A.(l ■ + A) — a% — b (1 + il) = (l — A x ) ß — A 2 ) . . .(vgl. 13) 



\l — — 1, so erhält man a = (1 + l x ) (1 + k 2 )\ Qder 

 \ A = 0, „ „ „ h — — A X A 2 , f 



jene Gleichungen, welche den Übergang zwischen den elliptischen und 



I É2 r; 2 



den gewöhnlichen Koordinaten <-ö — : a, -^ == ö, §10 Gl. 7 ver- 



mittein. *) 



Setzt man den aus der ersten Gleichung unter (17) folgenden Wert 

 A„ zz — X x -\- a -\- b — 1. 

 in die zweite unter (17) und ebenso in die Gleichung III der Koffeide 

 X, 2 -f- X 2 rz (S. 49) ein, so erhält man die beiden Gleichungen 

 i V _(«+&_ l) A t - 6 = Ol 



IV — *i + « + & — i = oj ' ' " v ; 



aus denen Aj zu eliminieren ist, Die Subtaktion der letzten Gleichungen liefert 



(a -f b — 2) 1, -f- (a + 26 - 1) = . . . . (19a) 

 Multipliziert man die erste der beiden Gl. (18) mit (a~\-b — 1). die zweite mit b, 

 addiert dann beide und kürzt durch l lt so hat man 



(a-f-2b — 1) l l — [(a + b — l) 2 +6] = . . .(19b) 

 Das Ergebnis der Elimination von ? n aus (19a) und (19b) ist aber schon 

 die gesuchte Gleichung 



4-b - 2 , et 4- 26 — 1 



+ 26-1 ,_[( 0+ 6_i)* + 6 ]- 



(a -f Vf — Sa- — 3ab -f 6 2 -f 3a — b - 1 = ; (20) 



l ) Diese Gleichungen machen die Berechnung der Koordinaten (|< //') des 

 bifokalen Bildes F (£, ??) eines beliebig gegebenen Punktes P (Í, rj) bequem, sobald 

 man sich die beiden elliptischen Koordinaten von P. d. h. die Wurzeln ) n (posi- 

 tiv) und X. 2 (negativ) der Gleichung 13 (deren Koeffizienten nur von f, r\ abhängen) 



fi'=-M 



und sodann aus diesen nach I, II \ " ' x x \ bestimmt hat. Es ist dann einfach 



I (V 2 — XJ ) 



gemäss (17): 



\e = ± , vö+TTm+iy = ± >■ - V < ? :^ř+S| 



J V h \ 



y' = ±r\ - X',X' 2 =± 



vr 





