52 Anton Grünwald: 



d. h., wenn Dian in ihr ausführlich #, r\ ersichtlich machen will, 



^-a^ T =b t §10 GL 7) : 



{Š 2 +rr) 3 -3r 2 Š i — Zr-Š-r i 2 + r 2 r J i + 3r i Š 2 —> A r l *-r 6 = 0...(20') 

 (20') ist die gewöhnliche Gleichung der Koffeide &. Sie 

 zeigt, daß diese Linie neben ihre beiden (reellen) Spitzen i*\ und F 2 

 (£ = -*- r, 0), in denen die £ Achse Spitzentangente ist, noch in den 

 unendlich - fernen Kreispunkten (| 2 -)- r 2 — 0) Spitzen besitzt 

 und zwar mit der unendlich - feinen Geraden als gemeinsamer 

 Spitzentangente. Letztere ist also als eine (isolierte) reelle 

 Doppeltangente der Koffeide k anzusehen. 



Die Koffeide ist eine Kurve von der sechsten Ordnung. 

 Sie ist auch von der sechsten Klasse 1 ), da sie außer den vier 

 erwähnten Spitzen noch sechs i m aginäie Doppelpunkte mi 

 den Koordinaten 



I a = o\ Ua = 3r=o\ d h | Š = o \ U = ±rV3~| 



l6+l = o j l(o + l) 3 = oJ \v = ±rif U = ±ri j 



besitzt. 



Schreibt man nämlich die Gleichung (-20) der Koffeide in der Form 

 6 :i -f (3 a 4- 1) b 2 4- (3 a 2 - 3 a - 1) b -f (a — l) :i = o, 



| 3 a 4- 1 = ^ » 



oder ha 2 - 3a — 1 — Ä 2 > gesetzt, 

 l (a — t) s = A 3 i 



& 3 4- A L b 2 -}- A 2 b + A 3 = o, 

 so ist die Diskriminante dieser Gleichung 



^ — iA\ — A\ AI — 18.4, A 2 A 3 + 27 A\ 4- 4 A\ A 3 



= 27 a 4 — 194 a :! -f 435 a 2 — 288 a=za (27 a*— 32) (a — 3) 2 . 



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4 verschwindet außer für a — -^j-, was (vgl. S. 50 beider Fußn. 3.) den reellen Doppel- 



4 

 tangenten f = ^; -r- \^6 ?• in den Punkten Pin entspricht (zwei Werte von >/ 



fallen für diesen f Wert in 7=:+ -jr- V3 r zusammen), nur noch, wenn ent 

 weder a — o oder (a — 3) 2 = o ist, was zu den obigen Doppelpunkten führt. 



Die Koffeide besitzt ferner sechs Doppeltangenten, 

 nämlich die unendlich ferne Gerade, die £ Achse, die Doppeltangenten 



4 — / 4 — 



5 == lt-q-y*6 r in den mit im bezeichneten Punkten I + tt V.t5 r, 



') Alle 6 Tangenten aus einem reellen unendlich fernen Punkte z. B. sind 

 reell ; unter ihnen befindet sich die unendlich férue Gerade, welche für 2 Tan- 

 genten zählt, während die übrigen 4 reellen Tangenten paarweise bezüglich des 

 Anfanges symmetrisch liegen. 





