Die bifokale Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 53 



:+: -q- V ti n un( l außer diesen reellen vier Doppeltan- 

 genten noch die beiden imaginären 



h 27 , , 77 . 3 VIT . 



— = — — - d. h. 4- 3= -+- — ~ 1 

 a 32 | — 4 y 2 



durch den Anfang O (das Symmetriezentrum von k) gelegten. 



Setzt man nämlich, um die Schnittpunkte der Koffeide mit der durch O 

 gelegten Geraden zu übersehen, in der Gleichung (20) h—la, so daß (20) in 



a :i (1 -j- A) :1 -f a 2 (— 3 — 3 A + V) + A (3 — l) — 1 = o 

 übergeht, so ist die Diskriminante Ai dieser Gleichung, 



ál = ±B\—B\ B\ — 18 B 1 B 2 B 8 + 27 B\ + 4 B» B 3 , 



wenn \ — (A 2 — 3 A — 3)—B 2 > gesetzt wird, d. h. 

 I -(1+1)» = 5, J 



^A = . A G + 288 A 3 + 435 1* + 194 A :1 + 27 A 2 



rrA^A + l) 2 ^ A + 27). 



^i verschwindet außer dort, wo es wegen der getroffenen Doppelpunkte 

 verschwinden muß, d. h. außer für 



A — cc entsprechend den Doppelpunkten (o, + ri) der 1; Achse (A 8 erhielt 



den Koeffizienten Null) 

 A 2 — o entsprechend den Spitzen (+»•, o) mit der £ Achse als Spitzen- 

 tangente 



(3;A + l) 2 : =z entsprechend den Doppelpunkten!, 1 d.h.] £= + ?• V 3, 



rj — ±_ri nur noch für 32 A + 27 = o. Die diesem letzteren Werte 



i 27 v / 27 \ 



I — ) von A entsprechenden Geraden (& = ^V a ) s i n ^ die beiden 



oben angegebenen (außer der Doppeltangente £ noch) durch O gehen 

 den Doppeltangenten. 



Außer dem hat die Koffeide gemäß den bekannten Plücker-schen 

 Formeln noch vier imaginäre Wendetangenten. 



§ 12. 



Einteilungen der reellen Kreiskegel. 

 Wir haben (im §8) anschließend an die Betrachtung der bifokalen Be. 

 ziehung in der Meridianebene (f, 17) des festen Kreises $ und an die Betrachtung 

 der Koffeide Je als des Ortes der Scheitel P von „mittleren" Kegeln über dem 

 Kreise Ä (als Basis) die Kreiskegel in 



„scharfe" (« + /?< 90°, q> + v ( S ) 90°) L ) und 



l ) <p + ip = 90° bei scharfen Kegelformen nur dann, wenn g> = 90°, i/> zz 

 a zz /? <] 45°, also bei scharfen Drehkegeln. Vgl. § 8. 



