Einige Bemerkungen zu der Abbeseben Theorie der optischen Abbildung. 3 



WO 



A 1 =a x a } ' -f- a.,b { ' -\- a.^ 



ß, — b^' -\- b. 2 b^' -J- & 3 <V 



Cj z= c x a x ' -J- c 2 Ď/ -(- CjCj' u. s w. 



Die projektiven Transformationen bilden daher eine Gruppe, ein 

 Umstand, der im optischen Sinne folgende Bedeutung hat: 



Eine beliebige Aufeinanderfolge von optischen Abbildungen ist 

 einer einzigen optischen Abbildung aequivalent, deren Konstanten 

 immer in Form der Gleichungen (1) vorausgesetzt werden können. 



Dadurch ist prinzipiell die ganze Frage einer beliebig zusammen- 

 gesetzten optischen Abbildung schon erledigt. Aber im Sinne der 

 praktischen Optik muss man noch untersuchen, welche optische Be- 

 deutung die einzelnen Konstanten in den Gleichungen (1) haben und 

 wie sie bei einer zusammengesetzten Abbildung am einfachsten be- 

 rechnet werden können. 



Und da zeigt es sich zuerst, dass von den 9 Konstanten a { b { c 

 (i— 1, 2, 3) nur 8 wesentlich sind, denn eine beliebige von ihnen 

 kann durch Division gleich 1 gemacht werden. Dabei hat das Koordi- 

 natensystem in beiden Ebenen eine ganz allgemeine Lage und E. Abbe 

 hat gezeigt, wie sich, durch geeignete Wahl der beiden Koordinaten- 

 systeme, die Zahl der in den Gleichungen (1) übrigbleibenden wesent- 

 lichen Konstanten auf zwei herabsetzen lässt, die eine bestimmte 

 optische Bedeutung haben, oder analytisch ausgedrückt: die von den 

 Koordinatensystemen in E und E' ganz unabhängig sind. 



Diese Reduktion ist auf verschiedenste Art*) möglich. Zum 

 Zwecke der vorliegenden Abhandlung sei nur auf folgende von der 

 Abbeschen nur wenig abweichende Reduktionsart hingewiesen. 



Wenn in den Gleichungen (1) nicht zugleich 



(t 3 -b s = (7) 



ist, dann existiert in der Ebene E im Endlichen eine Gerade F 



F=a 3 x-\-b s y^-c 3 = 0, (8) 



deren Bild nach (1) eine unendlich ferne Gerade U' ist und umge- 

 kehrt, in der Ebene E' liegt auch im Endlichen eine Gerade F 



*) Siehe S. Czapski: Grundzüge der Theorie der optischen Instrumente 

 nach Abbe IL Abt. oder M. v. Rohr, Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten 

 II. Kapitel. 



