SUR LA DIRECTION DES AÉROSTATS. \ \ 



Théorème. 



«Pour déterminer le volume, la surface convexe et la résistance du cycloide de 

 révolution, nommons iM l'arc du segment fondamental par lequel il est engendré, 

 R le rayon qui a décrit cet arc : le grand axe du cycloide équivaudra à D.R.sinM; 

 le petit axe à zR(i — cosM); supposons encore, pour abréger sin M=S;cosM= C; 

 enfin, le rayon du grand cercle du cycloide ou i?(i — cosM) = r. 



«Alors i.° Le volume contenu dans le cycloide de révolution sera 



=; ?vi J — -r +■ ^ ^ — 26(6 — t — ; T"-^ 9 f-^iV'etc. ) 



(i_Cy|_ 3 \ 6 40 112 n52 2816 , /J 



Démonstration. «Nommons encore Z l'abscisse prise du centre du cercle et y 

 l'ordonnée; la coupe transversale du cycloide, perpendiculaire au grand axe, et faite 

 à une hauteur quelconque Z, sera égale à # '(y — CR) 2 = 7r ( y 2 — 2 CRy -+- C-R 2 ) 

 et puisque y 2 = R 2 — z 2 , l'aire de la coupe sera encore = -n (R 2 - — - z 2 -+- C 2 R 2 — - 



2 CR \ZR 2 — z 2 ) , le dernier terme de cette fonction , égal à 2 CR 2 \/ 1 — £_, peut se 



R 



Z 2 Z^ Z^ Z^ Z ia 



résoudre en la série 2 CR 2 (i_i~— i— —^ — ——- — ^j^, etc.) : la 



valeur de cette aire, multipliée par la différentielle de la hauteur ou de l'axe des 

 abscisses, dz, donnera la différentielle de la solidité du demi-cycloide (demi, 

 parce que 2 est l'abscisse prise du centre) égale h 7ï(R 2 dz — z 2 dz -f- C 2 R 2 dz — 

 , z*dz , z$dz , z 5 dz , z s dz 7 z'"dz , \ 



^CR 2 \_dz — -- w — i - w — Tl -jijr—ïh^r — T^-Rjr, elc.JJ, fonction 



,3 z i 



dont la valeur intégrale est 7t(R 2 z — ^: 3 +C 2 i? 2 z — 2 Ci? 2 [z — ~ ^ — ~ 



zl z9 z* 1 



— rrr jp — nferjp— irrë jr^> etc.] + constante), ce qui multiplié par 2, et z 



devenant = SR demi -grand axe du cycloide, donne la solidité de ce dernier 



= 27ïRHS— f -f-Ctf— 2C{S— Ç-~~- — -^^9— 4-zS» etc.]); 

 o L b 40 112 ii52 281b J/ ' 



la constante est zéro, parce que z devenant zéro, la solidité doit disparaître, ce qui 



a lieu en effet dans la formule ci-dessus, tous les termes de la valeur intégrale 



étant multiples de z. Il n'y a plus, pour avoir la formule indiquée dans le théorème, 



r 3 



qu'à remplacer R° par-; ^- 3 , valeurs qui sont effectivement identiques. 



2. «La surface convexe du cycloide sera 



^(T^^-^^ + i^+Â^ + ^^+r^^ + ^^Selc.]) 



Démonstration. «Pour trouver la différentielle dA de la surface convexe A du 

 demi-cycloide, il faut la considérer comme la surface d'un cône tronqué, qui a 

 pour rayons de ses deux bases y — CR, et y — dy — CR, et pour hauteur dz; 

 ccc. 



