SUR LA DIRECTION DES AÉROSTATS. 15 



transversale du cycloïde est = — -mzdz H ; ce qui, multiplié par z 5 //? 3 » 



el le terme radical étant changé en série, fournit la différentielle de la résistance = 



— 27rz'idz 2ttC / , , , z°dz ^zHz c z'°dz ,- z'*dz -, z^dz , , . z ,a dz 

 I / -4s/- -J— - 1-- i— — U- — I fa '' i_ '■' ' 



Z7 , z9 s z" 35 Z' 3 



etc.), dont l'intégrale = - f w. |p+'^ ( £ ~ 5 -^7^ + A #4 + ^ 7^ + ^ I^ 

 stV RTT+lV^i ^T7 elc -) ~+~ constante. Cette expression doit devenir égale à zéro, 



quand ; = S . H. Car alors y' devenant zéro, la base résistante disparaît; la constante 

 sera donc égale à ce que devient l'expression algébrique précédente, quand nous 

 changeons les signes et que nous remplaçons z par SU. Il est de même évident 

 que z devenant zéro, ce qui rend y' = r, el la surface résistante complète, tous les 

 termes multipliés par z dans l'équation intégrale précédente disparaîtront et la ré- 

 sistance aérienne elle-même deviendra égale à la constante seule, qui est: (/ri? 2 ou 



« Quand l'angle M est droit, le cycloïde devient une sphère ; alors R = r; S= 1 ; 

 C= o; et les quatre formules ci-dessus développées donnent le volume de la sphère 

 = 1 7ir> ; la surface l\ 7tr 2 ; la résistance , d'après la première supposition = \ 7tr 2 ; 

 et d'après la seconde = | nr-. Les théorèmes sur la sphère ne sont donc propre- 

 ment que des corollaires de ceux plus généraux sur le cycloïde de révolution. 



THÉORÈME. 



B Lorsqu'une ellipse , ou seulement la moitié d'une ellipse qui se trouve d'un côté 

 de son grand axe, fait une révolution autour de ce grand axe, il en résulte un 

 ellipsoïde comparable au cycloïde, dont nous venons de nous entretenir. Soit le 

 demi-grand axe de l'ellipse fondamentale égal à a; le demi -paramètre = p; r = 

 \/pci restant toujours le demi-petit-axe, ou le rayon du grand cercle. Alors 



i.° a La solidité de l'ellipsoïde est égale f tt/>« 2 ou ^7ir 2 a. 



Démonstration. u z restant toujours l'abscisse du centre et y l'ordonnée, la coupe 



transversale de l'ellipsoïde à une hauteur quelconque est ny' 1 ou bien 71 ; 



le produit de celte valeur par la différentielle de l'abscisse donnera la différentielle 

 de la solidité du demi-ellipsoïde = 7i{padz — r JL^L ■ fonction dont la valeur inté- 

 grale, multipliée par deux, donne, en faisant z =;«, la solidité de l'ellipsoïde = 

 i7t{pa' x — \pa 2 ) = 1 7tpa 2 = 1 7e. . r 2 . a. La constante est zéro. 

 2. « La surface convexe de l'ellipsoïde est: 



s ,'« — V 1 ( a — V\ . (a—V\ 3 5 ( a ~ P\ 4 ( a — P\ 5 „ lf .\ 



47rra(l _ ? _ _^_j__^__j__^_-j__(_-j etc.) 



ccc. 



