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4-° « Grande coupe verticale, contenant le grand axe et Vaxe moyen du 

 cycloïde et perpendiculaire au petit axe ou à la largeur du cycloïde. Ellipse 

 élargie dans ses ordonnées, dont // ou ia (i.°) est l'axe des abscisses, zbK l'axe 

 des ordonnées; z (i.°) l'abscisse prise du centre et Ky (5") l'ordonnée. Les rap- 

 ports de celte coupe dépendent par une conséquence évidente de ceux de la pré- 

 cédente. S'il était nécessaire de connaître la valeur de l'aire de cette ellipse, on la 

 développerait facilement par une intégration analogue à celles qui nous ont déjà servi. 



5.° «Coupe arbitraire verticale, parallèle à la grande coupe (l.°). Ellipse im- 

 parfàite, qui prise à une distance Ky du centre du cycloïde, a 2z (i.°) pour axe 

 des abscisses, et V(2.°) — CR pour axe des ordonnées; z' pour abscisse du centre 

 et y 1 pour ordonnée. 



«Il s'agit de déterminer généralement l'ordonnée y 1 en fonction de z' et de y (i.°) 

 ou de sa correspondante z.* A cet effet faisons passer une coupe horizontale arbi- 

 traire (5.°) à la hauteur de z' ; soit R' le rayon qui a servi à décrire le segment 

 circulaire formé par celte coupe; et y'" le sinus verse de ce segment ou l'ordonnée 

 de la coupe (i.°) à la hauteur z'. L'ordonnée y 1 , que nous cherchons, se trouvera 

 dans le plan de ce segment circulaire, et sera une partie du cosinus de l'angle 

 dont Ky est le sinus et R' le rayon. Comme Ky" 1 est le sinus du segment arbi- 

 traire (3.°) que nous avons fait passer à la hauteur z', Ky = SR' ; et le cosinus 

 de ce segment est CR'. De ces deux considérations nous lirons l'égalité {et) y' = 

 {R' 2 — K 2 y 2 )^ — R'C; mais à cause de la similitude des segments, nous avons la 



proportion R: R' = b\ y" ; donc R' = -—- ; or y'" est l'ordonnée dans l'ellipse 

 parfaite (i.°), qui répond à l'abscisse z'; donc y'" = - (a 2 — z' 2 )*; par suite R! = 

 -(a 2 — z' 2 )»; remplaçant cette valeur de R' dans le second membre de l'équation 

 de y' , (a) nous aurons : (j3) y' = 7R» 2 — - 2 — ^7 K 2 y 2 )^ — C(a 2 — z' 2 );] , mais 

 R z= — ç ; donc, en substituant, nous aurons 



Voilà l'expression de y' en fonction de z' et de y, que nous cherchions. Pour 

 rendre celle valeur en z' et z, et donner à l'équation une forme plus symétrique, 



observons que y 2 = — (« 2 — z 2 ) et C = 1 — S 2 ; substituant ces deux valeurs, 



on aura 



'S) y' = §"[(« 2 [' — «*] — -> ■+■ &z 2 ); — (a«[i — S*] — z'" h- S 2 z' 2 )f\, 



' z , y sont considères comme constants a coté de z , y . 



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