SUR LA DIRECTION DES AÉROSTATS. 25 



été calculés que d'après le premier de ces deux rapports dans les deux suppositions. 

 Ils sont donc ouvertement trop grands, et l'expérience doit être encore plus favo- 

 rable à la preuve que j'ai voulu fournir ici que le calcul même que j'ai présenté. 



Surface convexe du cycloïde elliptique. 



«Si nous coupons le cycloïde elliptique par un plan parallèle au plan qui passe 

 par ses deux axes horizontaux, et que celte intersection est faite à une distance 

 quelconque, z, du centre, le demi -segment PKQ représente le quart de cette 

 intersection. La ligne ÇA' sera l'ordonnée, y, de la demi-ellipse dont z est l'abscisse 

 prise du centre, et dont encore QK est la projection; a sera le demi-grand axe 

 et b le demi-petit axe de cette ellipse. Si /• est le rayon du segment qui forme 

 l'intersection faite parallèlement aux axes horizontaux , r' sera ce rayon à la hau- 

 teur z et r' sera égal hr -r- ou à la ligne OQ : pour plus de facilité, je nommerai 



simplement S le sinus de l'angle POQ , et Cle cosinus de cet angle, le rayon étant 

 considéré comme égal à l'unité; ainsi la ligne PK sera = Sr' et KO à Cr' : QK 

 ou y sera (1 — C)r'. Supposons à présent qu'une seconde intersection soit faite 

 parallèlement à la première, et à une distance, z -f- dz, infiniment peu différente 

 de la première hauteur z. Le demi-segment P'KQ 1 sera la projection de cette inter- 

 section sur le plan de la première ; et la figure PNMQQ' N 1 M' P' sera la projection 

 de la surface convexe comprise entre les deux intersections : QQ' sera alors la 

 différentielle dy de y, et les deux arcs PQ et P ! Q' sont supposés infiniment peu 

 distants l'un de l'autre. Les secteurs OPQ, O'P'Q' sont semblables; et la distance 

 OO' des deux autres également infiniment petite. 



<( Considérons maintenant sur l'arc PQ une portion NM infiniment petite par 

 rapport à cet arc; élevons dans la surface convexe, comprise entre les deux inter- 

 sections , deux perpendiculaires en N et en M. A cause de la faible distance des 

 deux intersections, ainsi que de celle des deux points N et M, nous pouvons 

 considérer les deux perpendiculaires élevées en ces points comme des lignes droites 

 parallèles, et la portion de surface convexe qu'elles renferment comme un parallé- 

 logramme plan. L'aire de ce parallélogramme sera alors la différentielle de la hui- 

 tième partie de la surface convexe du cycloïde. Il s'agit de déterminer cette aire. 

 Or comme la portion de surface NMM'N' est un parallélogramme à angles droits, 

 cette aire est égale au produit du petit arc NM par la perpendiculaire élevée en N 

 et dont la projection est NN 1 . Celte perpendiculaire est la racine carrée du carré 

 de NN 1 , plus le carré de la distance des deux intersections ou dz*. Il importe donc 

 de connaître les lignes NM et iVW' : la première est égale à la racine carrée de 

 NL 2 -+- ML 2 qui font un angle droit en L; NL étant parallèle à QK. Or si NI est 

 considéré comme l'abscisse z', prise du centre, et TO comme l'ordonnée y' du 

 ccc. 



