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ESSAI 



demi-cercle décrit du centre O, avec un rayon OQ, il est visible que ML sera 

 égal à dz et NL = — ûfy'. Nous aurons donc NM = (dz' 2 -\- dy' 2 )'; : l'équation 



du cercle est y' 2 — r' 2 — z' 2 , ainsi z = (r' 2 — y' a )i, donc dz' = ~- V J ; par 



conséquent NM = </>■' ( /3 ^ ., + 1) = û? r '.r'(r' 2 — y' 2 )~" - dy 1 (i — Ç)~ { ■ 



«Le rayon O'Q' est ce que devient le rayon OQ quand y devient y — dy ; 



ainsi, connue OQ = r = r y,- O'Ç)' sera = r' — dr = ry — rj et rfr' = y rfj. 



Or dr' = OQ-0'Q' =QQ'-+-0O; QQ' = dy; ainsi 00' = dr' -dy = dy(j- iV 



tirons à présent les rayons iVO, N'O' ; de O' abaissons la perpendiculaire O'// 

 sur i\0; O'// sera le sinus de l'angle O'N'O. Mais O'H, perpendiculaire, est 

 plus petite que l'oblique, infiniment petite, OO '. O'H est aussi infiniment petit, 

 ainsi que l'angle O'N'O, dont il est le sinus. Or dans un angle infiniment petit, 

 le sinus verse ou la différence du cosinus d'avec le rayon est infiniment petite en 

 comparaison avec le sinus, et peut par conséquent être parfaitement négligée ici. 

 N.'S est donc égal à N'O'. Les deux triangles rectangles OHO, OTN , ont l'angle 

 en O commun. Nous avons donc la proportion OH: OT = OO''. ON; ainsi 



n „ or X oo n „ r'-x^Ci-O. 



OH = jt^j ou OH = ■ 



(Jl\ r 



«La ligne NN' est égale au rayon ON moins ON' ou à ON— (OH -h N' H) 

 ou à ON— OH— O'N ; ainsi nous avons NN' = r' — r'-+- dr' — 7 dyfj — î ) 



= NN 1 = dr\j-t-( l — t)^"]; solt NN" la perpendiculaire dont NN' est la 

 projection; nous aurons NN" = (dz 2 + AW' 2 )>; l'équation à l'ellipse est y 2 = 

 - (a 2 — z 2 ), ainsi z = ( n 2 — F y 2 ); = f (b 2 - f)i, donc «fc = J{j^±pyJ donc 



nous aurons NN" = dy [y^-f- (J + ^^Jf = *■ J [^T^ 



( r — (7 — i) 7-YlS et comme Z» = r— t>, r — b = O; ainsi NN" = y" [jg^-, 



H- r 2 T î — C—,j \*. Soit -X la surface convexe cherchée • d. dX en sera la diffé- 

 rentielle du second ordre NM -h NN" . Ainsi nous en tirons la différentielle finale 



i.ix = *.*.*(, - £)-= (^_ +,.{,_ C ' T ]J „„ 



«Le facteur— du second terme du troisième radical est plus grand que l'unité; 



car la demi-hauteur a du cycloide est supposée plus petite que la demi-longueur 

 ccc. 



