SUR LA DIRECTION DES AÉROSTATS. 25 



de ce corps = Sr, el celte demi-longueur Sr est encore plus petite que le rayon r 

 avec lequel le segment fondamental est décrit; le troisième radical ne saurait donc 

 donner lieu à une série convergente. Pour obvier à cet inconvénient, nommons 

 la ligne TK, Y; alors y 1 ou TK + KO deviendra Y -+- Cr'. Substituant cette 

 quantité, on aura 



. ,avf Y>\— - i / Y*-\-zCr'Y\ — 1/ r»r CY ~\2\b* — r 2 l\i 



d.JX = dy.d y '{(i-i) ^C 1 -^^-) V^A^--]-^ 1 )' 



Maintenant les trois radicaux donneront des séries convergentes ; ainsi leur produit 



doit converger de même. La preuve de la convergence n'est exigée que pour les 



deux derniers radicaux en fonction de Y. 



Y 1 sCr'Y 

 t( La fraction ^-7; égale l'unité : car la plus grande valeur de la variable Y 



est b ou ( 1 — C)r' ; or nous avons la proportion 1 — C : S = S : 1 -h C; 

 ainsi S 2 = (1 — C) (1 + C); ensuite 1 -f- C est plus grand que iC ; donc 

 S > 2 ( 1 — C) C; et S 2 r' 2 > ir' ( 1 — C) Cr = zCr'Y; la différence est 

 (1 _ C) [1 -+- C — aC>' 2 ou (1 — C) (1 — C)r 2 ; or, c'est là la valeur de Y 2 . 

 Ainsi, dans la plus grande valeur de Y, cette fraction n'excède pas l'unité, les 

 coefficients décroissants de la série à laquelle ce radical donne lieu et ceux qui 

 résulteront de l'intégration formeront donc une série convergente. 



«Dans le second terme du troisième radical la quantité S 2 est plus grande que 

 Y 

 la quantité C— ; car la plus grande valeur de la variable i^est (1 — C)r' ou y, 



y 7 



et celle de la variable y est b. Ainsi, dans ce cas, C— va devenir C- ou (1 — C)HC. 



OvS 2 z= (1 — C) (H-C); la différence est (1— C) (1 + C—C) = 1 — C; ainsi 



la plus grande valeur de la quantité — I S 2 — C— 2 est ou — ; or b est 



supposé plus petit que «, ainsi la série de ce radical va devenir nécessairement 

 convergente, si nous considérons ce terme en entier. Elle le devient aussi par 



Y 



rapport à la seule quantité S 2 , plus grande que C—, toutes les fois que a est plus 



grand que (1 — C)b. Car la supposition de a = (1 -1- C)b rend la fraction — — = 

 l'unité; savoir : S' = ( 1 -+- C) ( 1 — C); 54 = ( 1 — C)* ( . + C) 2 : r 2 54 = 

 r2 ( 1 _C>(i-4-C)^^(i+C)-orsi« = Ki+Q^'deviendra*4[^g-= 1 . 



«Tous les radicaux donneront donc lieu à des séries convergentes. 



«Ayant réduit en série les deux derniers radicaux en fonction de Y, on les 

 multipliera ensemble terme par terme, et on les arrangera d'après l'ordre des puis- 

 sances de Y; nommante, B, C, etc., les différents coefficients numériques et litté- 

 raux de ces puissances , on aura l'équation différentielle suivante : 



ccc. 4 



