28 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



arcul de cerc mare. Insă această funcţiune astfel concepută tocmai 

 pune de acord rezultatul analizei noastre cu formula lui Newton 

 care e rezultatul constatării directe a fenomenelor. 



In fine, cercul trigonometric cu raza infinită nu e de loc utopic. 

 Şi cu ajutorul lui, considerând planul ca o suprafaţă sferică, for- 

 mulele trigonometrici sferice se reduc la cele ale trigonometrici 

 rectilinii. Dar aceasta e o altă chestiune. *) 



*) Mai întâi observăm că unghiurile triunghiurilor sferice rămân tot unghiuri şi dacă consi- 

 derăm sfera cu o rază infinită ca şi dacă o considerăm cu o rază finită oricare ; deci, toată ches- 

 tiunea se reduce asupra laturilor, căci formulele trigonometrici sferice, în cari intră funcţiu- 

 nile circulare ale laturilor triunghiurilor sferice, ar condnce la funcţiunile circulare ale drep- 

 telor cari sunt laturile triunghiurilor rectilinii. 



Dacă în loc de arcele simple ale laturilor triunghiurilor sferice luăm raporturile lor către 

 rază spre a le reduce la sfera trigonometrică, sau mai exact la unghiurile ce reprezint feţele 

 triedrului ale cărui elemente le reprezint în fond triunghiurile sferice, am avea de considerat 



sin — , cos — .... în loc de şina, cosa. . . şi 

 r r 



a) Pentru că pentru r infinit mare, — e infinit mic putem înlocui sin _ cu — ; 



r r r 



. 2 a , a . » a ^ a V a? 



b) Din cos a = I — 2 sin — vom luâ cos — = I — 2 sin — = 1 — 2 \ — ) = 1 — — 7, : 

 1 2 r 2r \2r/ 2H ' 



c) Iar pe celelalte funcţiuni circulare directe le vom putea deduce cu ajutorul sinului şi 

 cos inului, sau mai bine vom transforma formulele în care intră alte funcţiuni circulare ale 

 laţurilor afară de sin şi cosln în formule numai cu aceste două. 



Şi norma, de altfel cu totul evidentă, ca din formulele trigonometriei sferice să trecem la 

 ale trigonometrici rectilinii, va fi următoarea : 



a) Vom înlocui funcţiunile circulare ale laturilor cu valorile deduse din cele precedente, 

 păstrând însă intacte funcţiunile circulare ale unghiurilor ; 



b) Ne vom scăpa de numitori operând cu r ca cu o cantitate finită oricare, şi vom face re- 

 ducerile ce se vor prezintă ; 



c' In fine, vom divide formulele găsite astfel cu r la exponentul cel mai mare cu care intră 

 în fiecare, şi apoi supozând pe r infinit se vor anula toţi termenii în care r va fi la numitor. 

 Pentru exemplu : 



a) Cosa = cosb cosc+simb sine cos A. înlocuind pe sin şi cosln de a, b, c cu valorile prece- 

 dente, avem (l— —) = ( 1 — — \ fi — —) +— . — cos A. de unde (2r 2 — a 2 )2r s = (2r 2 — b») 



\ 2r 2 / V 2r 2 / V 2r 2 / r r 

 (2r 2 — c s )f-4 ber 2 cos A; sau făcând reducerile şi schimbând semnele avem 2r 2 a 2 = 2r 2 b 2 + ar 2 c 2 



b 2 c 2 

 — b 2 c 2 — 4 ber 2 cos A; şi divizând cu ;- 2 avem 2a 2 = 2b 2 +2c 2 — — ^- — 4bc cos A. Acum su- 



b 2 C2 

 pozând pe r infinit, se reduce termenul — — %- şi simplificând apoi cu 2 avem 



a 2 = b 2 -f-c 2 — 2bc cos A. 



b) Cos A= — cos B cos C-f-sin B sin C cos a. Avem ca şi în cazul precedent. 



Cos A = — cos B cos C+sin B sin C \i— —ş) ; 2r 2 cos A = — 2r 2 eos B cos C+2r 2 sin B 



a 2 sin B sin C. 

 sin C — a 2 sin B sin C ; 2 cos A = — 2 cos B cos C+2 sin B sin C — , Şi tăcând 



r infinit şi apoi simplificând cu 2, rezultă cos A= — cos B cos C+sin B sin C sau cos A= — cos 

 (B-l-C). Aşa dar A + B+C=7r, căci A-f-B-f C = 3tt, 5^... nu e posibil, de oarece suma un- 

 ghiurilor unui triunghiu sferic ştim că trebue să fie mai mică decât şase unghiuri drepte sau 37r; 

 sin a sin b a b a b 



c) — — rt=~ — t: dă imediat — : — r= — r— ţ; deci —. — r=~ — 5- 

 ^ sin A sin B r sin A r sin B sim A sin B 



cos a 



a) Cotg a sim b=cos b cos C-|- sin C cofg A. O transformăm înlocuind cotg a, prin — . 



şi scăpându-ne de numitori : avem cos a sin b = sin a cos b cos C+sin a sin C cot A. Apoi 

 procedând ca şi în cazurile precedente obţinem b = a cos C f a sin C cotg A. Btc. 



