BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 17 



On peut ainsi representer la fonction associee F(z) de diverses 

 manieres sous la forme d' integrale de^înie. Or, le probleme inverse: 

 representation de f(z) sous la forme d'intâgrale d^finie â l'aide 

 de F(z), est, comme l'on sait, r^solu par la formule 



(35) M = j e-« F(tz) dt 



pour tout point z compris dans la circonference C et meme pour 

 certains points situ^s en dehors de C. Si dans (35) on remplace 

 F/zj par Tune des ses expressions sous la forme d'integrale d6- 

 finie, on obtient diverses formules exprimant une fonction ar- 

 bitraire donnee sous la forme d'une integrale double. 



Des telles expressions des fonctions f(z) et F(z) permettent 

 aussi d'en tirer divers renseignements sur Ies p articular ites de 

 ces fonctions. On connaît, par exemple, Ies r^sultats tir^s par 

 M. Poincare de l'expression (35) dans le cas ou f(z) est une fonc- 

 tion entiere. 



Lorsque le coeflicient a n est mis sous la forme (31), ii y a des 

 relations £troites entre diverses particularit^s des fonctions A(t), 

 r(t), F(z). Ainsi lorsque, Ies limites a et b de l'integrale et.ant 

 r6elles, Ies fonctions A(t) et r(t) sont r6eles, limit^es et d'un 

 signe invariable dans l'intervalle (a, b), la fonction F(z) sera une 

 fonction entiere de 0, du genre inferieur ă 2, jouissant des pro- 

 prietes suivantes : 



i° Pour toute valeur r^elle ou imaginaires de z le module de 

 F(z) est inferieur â celui de 



(36) f(o)e>fc 



ou M d^signe la plus gr an de valeur absolue de r(t) pour Ies va- 

 leurs de t comprises entre a et b. 



2 La fonction F(z) ne peut avoir aucun zero r^el, ni aucun zero 



imaginaire â coefficient de i compris entre — m et M' 

 3 La courbe r^elle 



(37) y = F(x) 



varie constamment dans un meme sens, sans pr^senter de maxima, 

 de minima ou de points d'inflexion et l'on aura 



