BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 11 



EXPRESSIONS DIVERSES DES FONCTIONS ASSOOEES. 



PAR 



M. MICHEL PETROVITCH 



FROFESSEUR A L'UNIVERSITE DE BELGRADE 



Etant donnee une serie 



(i) f(z)=a +a 1 z+a, z 2 -f- 



convergente pour Ies valeurs de z comprises a l'interieur d'une 

 circonference Cde rayon i?, on appelle, d'apres M. Borel, sa. fonc- 

 tion associee la fonction, nec^ssairement holomorphe dans tout le 

 plan, de (Inie par la serie 



(2) ■ : F(z) = aj + ^z '+■**+. 



Le role meme que jouent ces fonctions dans la theorie moderne 

 des series de Taylor donne de l'intereţ au probleme de rcpresen- 

 tation de la fonction associee F(z), correspondant ă tine fonc- 

 tion f(z) donnee par des integrales definies portant sur la 

 fonction f(z) elle-meme. 



A cet egard nous presenterons Ies resultats suivants, en suppo- 

 sant Ies coefficients ai reels (ii serait facile â modifier Ies formules 

 pour Ies cas ou Ies ai etaient imaginaires). 



I. En designant par P(z ; t) la pârtie reelle de f(ze u ) on a 



(3) F(z)=- /P(z,t) e ces t cos (sin t) dt 



o i. :. n . 



pour toute valeur de z a Vinterieur de C. 

 Car, d'apres une formule connue, en posarit 



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(4) L n = / e cos l cos (sin t) cos nt dt 



on aura 



u 1 f-iî) /:. kî • 



(5) L„ = - -, 

 VJ/ 2 n- 



et d'une autre part on aura 



(6) P(z,t) = a + b. x z cos t -f- a 2 z 2 cps 2t-^--{-- : ■ 



