BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 201 



La formule (7) s'ecrit alors 



X 



(9) * ( f(x) ) = t(x) + F(x) -fK(x,mW 



O 



Cest Tequation fonctionnee que M. Picard a obtenue en par- 

 tant de la formule de M. Hadamard. 

 Nous supposons ici 



(10) f(x)/px 



(3 etant une constante plus petite que un. Si d'apres Ies vaieurs de 

 f^x) et f 2 (x) cette inegalite n'est pas remplie on doit avoir 



f(x)\ax a\i 



et alors x=f(y), la fonction inverse de y=f(x), verifie Tineg-alite 

 (10). En faisant dans (9) x=f(y) et a preş sous le signe / le chan- 

 gement de la variable ţ={(-r\) on peut obtenir une equation satis- 

 faisant aux conditions demand^es. 



Pour resoudre cette equation cherchons â trouver une fonction 

 resolvante comme dans le cas ordinaire de M. Volterra. Formons 

 alors une serie de fonctions 



K<«(x,5), K< 2 >(x,!j), , K<»>(x,!j), . . . . . 



definies par Ies equations suivantes : 



K^x,ţ)-KW(f(x),5) = K(x,ţ) 



X 



K»(x,ţ)-K«(fîx),S) =/k(x,r) K^r^jdr 



X 



(11) K (3) (x#— K< 3 > ( f(x),£ ) = f K(x,r) K (2 >(r,*)dr 



X 



K< n >(x,?)— K (n) (f(x)^)=rK(x,r)K (n - 1 >(r^)dr 



i 



On voit qae pour deduire une fonction quelconque K (n) (x,£) de 

 la precedente K (n 1} (x,£) ii faut resoudre une equation fonctionnelle 

 de la forme 



<p(x)— <p(f(x)) = ic(x) 



