BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 275 



prouve la convergence en la comparant a la solution de l'equation 

 de M. Picard *) 



d>(x) - A(x)*(px) + / X K(x 3 S)cl^)d£ = Vţx). 



Si Ies deux courbes donnees (Cţ), (C 2 ) se touchent en origine, la 

 courbe y--f(x) est tangente a la bissectrice de l'angle des coor- 

 clonnees ; une inegalite" telle que ( i o) est impossible. On peut 

 pourtant, aussi dans ce cas, former la serie qui sâtisfait formellement 

 a l'equation (7) ; elle est: 



( x 1 ) <b( x ) = cl> (x) + * 4 (x) + *fâ + ••••+ *,i W + • • • • 



oii Ies fonctions ( i 5 (x), ( J> 1 (x),....* a (x),..., s'obtiennent en resolvant 

 Ies equations fonctionnelles 



(i 2 ) *„(*)- A(x)* (f(x))==V(x) 



(13) * n (x)-A(x)* n (f(x)) + /*K(x,S)<lv.(5)4£=o. (11= .,2....) 



«/O 



Ces equations de la forme 



(14) ? (x)-A(x)<p(f(x)) = B(x) 



n'ont pas toujours une solution <p(x). Nous allons montrer qu'une 

 solution existe chaque fois que Ies fonctions A(x) et B(x) satisfont 

 aux inegalites 



(15) |A(x)j^e^ 2 



(16) |B(x)|^(k n (11^2) 



Nous supposons que la courbe y = f(x), tangente en origine â 

 la bissectrice, est croissante et situee tout entiere au dessous de 

 cette droite dans l'intervalle o ^ x ^ a. Le cas ou la courbe serait 

 au dessus de la bissectrice se reduit au premier par une transfor- 

 mation analogue a celle qui nous a conduit a la supposition (10). 



Une solution de l'equation (14), qui s'annule en origine, est 

 donn^e formellement par la serie 



n=oo 



(17) 9(x)=B(x) + £A(x)A(f(x))A(f<^ 



*) Comptes rendiis 1907. 



