2Î6 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



ou pour abr£ger on a mis 



f«>(x) = f(f(x)) 

 f«»(x)=f(f(f(x))) 



f(n)(x) = f(l(....f(x))) 



Avânt de demontrer la convergence de la serie (17), occupons- 

 nous de la s^rie 



(18) (x)*, (f(x))*, (f< 2 >(x)) 2 , (f |3 '(x)) 2 (f<"»(x)) 2 



Cest une serie convergente. Pour le faire voir construisons 



o 



une parabole g(x) z~x — X 2 x 2 qui comme y = f (x) est tangente 

 en origine â la bissectrice de l'angle des coordonnees ; le para- 

 metre X est choisi suffissamment petit pour que cette parabole soit 

 situee tout entiere au-dessus de la courbe y = f(x) dans l'inter- 

 valle o ^ x ^ a. 

 Les fonctions 



f(x), f (2) (x), f (3) (x) v ..»(x), 



seront respectivement inferieures aux fonctions 



g( X ), g«)(x), g (3) (x),....§r(»)(x), 



On a 



x = x 



g (x) — x _ X 2 x 2 



g< 2 >,(x) = g(x)-X 2 (g(x))2 



g«>(x)=^»(x)-X«(g a) (x)) s 



g^(x) = g^(x)-X 2 (g^>(x))2 5 



d'oii en additionnant 



t x+ ? (x)+g< 2 »(x)+ • • • • +g*-.'>(x) ]+g (n, (x)=x+[ x+g(x)+ • • • • 

 +gl »-.) (x)] _x2[x2+(g(x))H....+(g<»->(x)*] 



En faisant n = ?o et en observant que 



lini g (n) (x) = o 

 n=*o© 



