BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 281 



ODELQUES REMARQUES SDR L'EQDATION DE VOLTERRA 



PAR 



TRAJAN LALESCO 



i. Dans un travail anterieur, j'ai montre que la resolution de 

 l'equation de Volterra revient dans un cas tres general au probleme 

 de Cauchy, relatif a une equation differentielle lineaire d'orclre 

 infini, en mettant en evidence de cette fagon le caractere analyti- 

 tique,du nouvel instrument analytique. 



Pour faire cette reduction, j'ai opere dans le domaine analytique, 

 d'ici certaines restrictions entre autres une coniition surla nature 

 analytiques du noyau. D'autre part, l'equation differentielle lineaire 

 â laquelle on parvenait ainsi avait un caractere special ; elle etait 

 de la forme 



T . dy" , dy n_I 



[ a oW d ^n + a i( x ) r 4= I + •- + a„(x)y 



l'ordre de derivation et l'indice des coefhcients croissant dans deux 

 directions oppos^es. 



On peut eViter cette maniere d'ecrire, en introduisant syste- 

 matiquement Ies integrales successives d'une fonction en meme 

 temps que ses dârivees. 



Tant que Ies diverses integrales successives d'une fonction qui 

 figurent dans une relation sont en nombre fini, leur introduction 

 n'est qu'une autre maniere de parler. Mais actuellement la pr6sence 

 d'un nombre infini de pareilles integrales ren dnecessaires — â mon 

 opinion — leur introduction. d'une facon systematique. 



Nous voulons mettre en £vidence ici quelques simplifications qui 

 resultent dans Ies recherches pr6c<Memment cit^es, si l'on se place 

 a ce point de vue. 



2. Prenons d'abord l'equation de Volterra: 



(i) y" X [A x« + A^-'s + -.. 4- A„s»]«p(s)ds = F(x) 



