282 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



si nous ecrivons le noyau sous la forme 



n/ N , (x— s) , (x— s)»- 1 , (x—s)" 



P(x,s) = a a x» + a{X n-i\—J. +....+ an- ^^J + «» ~ y- 



l'equation (i) devient 



a x n / X o(s)ds+a 1 x"- 1 / x (x-s)cp(s)ds-f --+a n / ^Z^° <p(s)ds=F(x) 



o o o 



ou employant la formule connue 



( 2) j^ x -- 7 s)p ? (s)ds=y\(s)ds 



o o 



(P+I) 



le seconde membre designant une integrale p-j-i — ple, nous ob- 

 tenons 



a x n / X <p(s)ds+a,x n — l / X ş(s)ds -f- •— ~r a n / X ?(s)^is = F(x) 



o o 



(2; (n+i) 



Nous appelerons une pareille equation, une equation integrale 

 lineaire d'ordre w, c'est au fond une equation clifferentielle lineaire 

 du type de Fuchs, ciont on peut preter toute la theorie, mais qui 

 peut s'etudier simplement d'une maniere directe. C'est la methode 

 directe qui est inevidemment la plus simple et nous ajoutons que 

 c'est une remarque generale reposant sur ce fait analytique pro- 

 fond que l'operation d'integration est l'operation directe en com- 

 paraison avec la derivation. 



Nous obtenons ainsi, sans derivation et sans le detour de l'e- 

 quation adjointe, Ies proprietes qui conduisentausecond theoreme 

 de Mr. Volterra, avec ses complements. On passe ensuite au cas 

 general : 



f* [ A X" + AjXn -i S -\ h AnS- + Pn-x^s) ] ?(s)ds = F(x) 



o 



ecrivant l'equation sous la forme : 



J' x P(x,s)o(s)ds + xJ x P n _ M (x,s)?(s)ds = F(x) 



