BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 2 83 



et en appliquant un mecanisme d'approximations successives, comme 

 nous l'avons deja fait. 



3. Prenons maintenant l'equation de Volterra generale 



r x N(x,s)9(s)ds = F(x) 



o 



et devellopons le noyau par rapport aux puissances de x— s. Nous 

 obtenons 



p,(x)^— T ^ ? (s)ds = F(x) 



P 



OU 



n p (x) f X <îrj)! ? (s)ds = F(x) 



p=o 



ou bien, en utilisant la formule (2) 



(3) n (x) / x cp(s)ds+n 1 (x) / x cp(s)ds^ +n p (x) / X ?(s)ds4-.... =F(x) 



o o 



(2) (p+0 



Nous obtenons ainsi immediatement une equation integrale li- 

 neaire d'ordre infini. Les diverses integrales successives doivent 

 toittes s'annuller pour x=o ; la solution de l'equation de Volterra 

 est donc la solution de l'equation integrale, telle que toutes ses in- 

 tegrales successives s'annulent pour x=o. Elle correspond donc 

 parfaitement â la resolution d'un probleme de Cauchy pour l'equa- 

 tion integrale (3). 



L'equation de Volterra a encore un caractere plus grand de 

 g<£neralite; ii faudrait introduire les derivees d'ordre quelconque^ 

 de Liouville ou les integrales de meme ordre pour arriver au cas 

 le plus general ; p etant un nombre absolument quelconque ration- 

 nel ou irrationnel. 



