BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



ou ds t = MMj, ds 2 = MM 2 et 8 = M ,MM 2 . On a de la meme ma- 

 niere dans le parallelogramme -p.[A 1 u. 2 uL 3 de la representation sphd- 



rique, 



(2) dl = da\j . da 2 . sin 10. 



Si nous appelons maintenant dx, dy, dz Ies accroissements 



de x, y, z pour passer de M â M l5 et 8x, Sy, Iz ceux pour passer 



de M â M 2 , on a, comme on sait, 



dp . Sx -f- dq . Sy = o, 



Sz C'Z 



ou, p = -*-, q = -a—, comme d'habitude. Or, posons 



r dx c/y' 



= Xp, p=rXq, T = — X, 



a = 



l/i-r-p 2 + T 



alors a, (3, y sont Ies coordonnees du point u. de la representation 

 spherique de M, et on verifîe aisement que Ton a 



da . ox -f- d(3 . oy -j- dy . oz = dX (pox -f- qoy — 2z) 

 -\- X (dp . ox -j- dq . oy) = o, 



ce qui prouve que Ies directions MM, et (xuj, et par consequent 

 aussi MM! et [Ji^ 2 , sont perpeniiculaires. 

 De la resulte Tegalite 



sin to =m sin 



en valeur absolue, et a l'aide de (1) et (2), on a 



, \ t^ r dS ,. do-, da., 



(3) K=hm — = lim — l . — s. 



dS ds ! ds 2 



Si Ton suppose que Ies lignes conjuguees MM t et MM 2 sont Ies 

 lig-nes de courbure de la sur face, alors Ies normales en M et en M i 

 se coupent, et d<r l etant l'angle de ces deux normales, on a 



dsţ =R 1 . dcr 1} , 

 R i designant le rayon principal de courbure correspondant a la 

 ligne de courbure MMj. On a de meme 



ds 2 = R 2 . do- 2 , 

 et alors 



R|R 2 

 qui est la deTinition habituelle de la courbure totale. 



