BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



Supposons maintenant que la ligne MM! se rapproche indefi- 

 niment d'une ligne asymptotique passant par M ; on sait qu'alors 

 ii en est de meme de l'autre ligne MM 2 , conjuguee de MM.,.- A la 

 limite, la relation (3) deviendra, abstraction faite du signe 



(4) K = lim (d7 



ds etant l'arc MM' de la ligne asymptotique en question et do 



l'angle forme par Ies normales a la surface en M et M'. Or ces 



normales â la surface sont Ies binormales de la ligne asymptotique, 



donc 



do- 

 imi -7- ==T, 

 ds 



T designant la torsion de cette ligne en M, et alors la formule (4) 

 demontre le theoreme d'Enneper. 



2. Courbure totale d'une surface reglee. Considerons mainte- 

 nant une generatrice ordinaire g d'une surface reglee quelconque 

 non developpable. Designons par C le point central de g et, si 

 M est un point quelconque dcg, posons x == CM. Soit enfin l'an- 

 gle forme par le plan tangent en M avec le plan tangent en C. 

 On a alors, d'apres la formule bien connue de Chasles 



'(5) . ^=£' 



k etaut le parametre de distribution de g. 



Remarqaons maintenant que g est une ligne asymptotique de 

 la surface et que son plan osculateur en M est le plan tangent â 

 la surface en ce point. L'element d'arc de cette ligne asymptotique 

 en M est eviiemment dx et l'angle forme par deux plâns oscula- 

 teurs indniments voisins est d§ ; donc, en mettant en eVidence le 

 signe de la courbure totale, on a d'apres (4) 



et en tenant compte de (5) 



(6) K=- COS *° 



k 2 



