BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



3. Prenons un point fixe O dans l'espace. Soient P et Q Ies pro- 

 jections de O sur le plan tangent en M et sur la generatrice g- 

 enfin posons p — OP, d = O O. On a alors dans le triangle rec- 

 tangle OPQ 



p = 00 sin P"QO = dsin (6— Q ) 



8 etant l'angle forme par le plan qui contient g et O avec le 

 plan tangent en C. II en resulte 



(7) K = -l_ 



cos 6 ]■* 

 sin(6— o )J. 



4. La derniere formule (7) fait voir que si O =— , on a — , — 



constant le long dela generatrice g. D'ailleurs, ii est aise de voir 

 que. le rapport cosO : sin (6 — ) est independant de O, seule- 



ment pour O n = — . On a donc le resultat suivant : 

 2 



Si Von prend le point O dans le plan asymptote de la ge- 

 neratrice g, alors et senlement alors le rapport K: p 1 , entre 

 la courbnre totale et la quatrieme puissance de la distance de 

 O au plan tangent, garde une meme valeur pour tont point 

 M de g. 



5. Considerons maintenant le cas particulier des surfaces reglees 

 dont la developpable asymptote se reduit a un cone et soit O le 

 sommet de ce cone. Alors. le plan asymptote de n'importe quelle 

 generatrice de la surface passe par O et par consequent le rapport 

 K : p 4 reste constant le long de toute generatrice de cette snrface, 

 mais varie d'une generatrice a une autre. 



Reciproquement, ii resulte de ce qui precede que, dans le cas 

 oii ii existe un point O tel que le rapport K : p 4 soit constant pour 

 chaque generatrice, tous Ies plâns asymptotes de la surface passent 

 par O, autrement dit la developpable asymptote de la surface se 

 reduit a un cone de sommet O. 



Cette propriete est curieuse en ce qu^elle relie entre elles deux 

 definitions tout-â-fait differentes des surfaces reglees particulieres 

 dont nous nous ocupons: d'un cote la definition projective davoir 

 la developpable asymptote reduite â un cone, de l'autre la defini- 



