12 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



on suppose que F(x) et *(x) s'annulent pour x = o (II y a des cas 

 particuliers ou cette hypothese n'est pas necessaire). 



Pour resouire Ies equations (8) on peut se servir des equations 

 plus generales auxiliaires qui pourX = i se reduisent aux prece- 

 dentes. 



F(x) = / X f(a)y(x,x)da + / " <p(a)Y(x,x)da + Â 

 J o J o 



ff(a)fe(x,a) - *(x,x)]da + [** <p(a)Y[(x,«) -- Y(xx)]da 



et l'equation analogue en remplagant F, y, Y, p, par şX l5 Y 1? q. 

 Cherchons f(«) et <p(a) par des developpements de la forme 



f(«) = f («) + Xf,(a) + X»f n (a) + 



? (a) = <p (a) + X ?1 (a) + X n f n (a) + 



On aura pour f et cp Ies equations : 



, , F'W = to)xM + ?oW • P'WY(x,z) 



(I0) *'(x) = f (x)ii(xx) + ?0 (x) . q'(x) . Y(x,x) 



et en general f n et ş n seront donnes pas Ies formules de reccurence. 

 f n (x)x(x,x) + ş n (x).p'(x)y(x,x) =y o U«)^ da + ^ ş^ (a)^ da 

 (ii) f nM ;Ci(x,x) + ? n (x) . q'(x) . Y (x,x) = 



r x f / ^1,1 . r (x) ^ 



ou Ton a mis pour abreger 4*( x > a ) — "X( x ? a ) — "X( x ? x )j etC- 

 Si le determinant : 



(12) 



x( x > x ) p'W Y M 

 Xi( x pO q'( x ) Y i( x , x ) 



est different de zero, alors ii existe une solution unique, et l'on 

 trouve pour f(a) et ş>(a) des series convergentes. 



Si le determinant (12) est nul, alors Ies approximations ne rriar- 

 chent pas ; mais alors ii faudrait suivant la methode classique de- 

 river encore ies equations (8). Cette methode de M. Volterra a 

 ete precisee par M. Lalesco dans sa these (voir page 48) et Ton 

 trouve indiquee la marche a suivre. 



