BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE tf 



4. Pour une fonction donnee 9, on a deux familles de courbes 

 sur lesquelles le mobile met le temps 



t' — <p(T) 



le meme pour toutes, pour parcourir l'arc compris entre (I ) et 

 (£). Elles seront donc des trajectoires et synodales aux synchrones 

 (I), pour le potentiel deduit de l'expression (1) de la vitesse 

 Nous allons moritrer que pour ce potentiel ii n'y a que Ies trajec- 

 toires (S,/), 9 prenant toutes Ies formes possibles. En effet, soit 

 — U le potentiel donne et v (X , fx ) la vitesse iniţiale au point 

 M , fonction des coordonnees X et (x de M . D'apres le theoreme 

 des forces vives, nous aurons immediatement la vitesse du mobile â 

 chaque point (X, [/.) : 



v*(X,(*) = 2[U(X,(i.) - U(X ,f, )] + v *(Xo^); 



une fonction bien connue de X, a, X et |/. . Pour que Ies courbes 

 d'une familie (T), soient trajectoires aux courbes (2) synchrones, 

 ii faut et ii suffit que le temps t', qu'un mobile mettrait a parcourir 

 l'arc M M, compris entre (I ) et (£ ), sur l'une quelconque des 

 courbes (T), ne d6pende pas de cette derniere. Or l'expression 

 de ce temps est : 



ds 



(M M) 



une fonction de X et u. ; elle doit en dependre seulement par l'in- 

 termediare de la fonction <\> (X, fi.), parcequ'elle doit conserver la 

 meme valeur de long- de (I) *). Pour une raison d'analog-ie ? nous 

 la mettrons sous la forme : 



9 W( V) — *o] 

 En supposant que cette fonction admet une deriv^e, nous 

 pourrons differentier Ies deux membres de l'identite : 



f = ? [+(V) " t ]. 



(M M) 



') 11 est facile de nous convaincre completement que la lonction F (A, fi), qui reste con- 

 stante sur {2), se rediiit â une fonction de \p (A, fi). En effet, en derivant F (A, fi) totalement, 

 qui, au fond, est fonction seulement de fi, parceque A et fi verifient l'ăquation de (2\ on aura 

 que le determinant fonctionnel de F et iţi, par rapport â A et fi, est nul, 



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