28 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



Si, en particulier, a. i -- i, alors nous obtiendrons Ies trajectoires 

 orthogonales aux synchrones, par consequent Ies courbes : 



u = c te . 



i 2. Ces nouvelles trajectoires, determinees dans de telles con- 

 ditions, se confondent avec Ies synodales correspondantes, comme 

 on le voit facilement de l'equation (5) : on en deduit evidemment, 

 le brachistochronisme de ces courbes, pour la force tiree a l'aide 

 du theoreme des forces vives, de la forme (P') de la vitesse. 



Je vais demontrer pourtant, directement, cette propriete des 

 trajectoires 



u c te , 



donc je vais demontrer que <p etant la fonction caracteristique 

 de temps, pour ces courbes, et Qj pour des trajectoires quelcon- 

 ques, correspondant au meme potentiel, nous avons : 



en considerant seulement Ies valeurs absolues de ces fonctions, 

 comme ii convient a le faire d'ailleurs, ayant egard a ce qu'elles 

 representent. 



En effet de l'egalite (6') on a : 



q/,, sin to ( p l ' = a3 , 

 d'ou 



I f \ < I ?i I 

 On pourra evidemment, integrer cette inegalii membre â mem- 

 bre, dans un certain intervalle, a partir de t = o, dans lequel Ies 

 fonctions continues cp" et ipţ' conservent un signe invariable. La 

 propriete annoncee se trouve par consequent demontree. 



13. Supposons, comme application de Tequation (8), que la 

 surface (S) soit reduite au plan xOy et Ies courbes coordonnees 



(. == c ,e , 

 soient Ies cyclo'ides : 



x = tJi(B — sin 0) 



y = •(/.( 1 — cos 0), 



ou est le parametre qui fixe la position du point sur la courbe. 

 Cherchons Ies autres courbes coordonnees 



X = c te , 



