30 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



On pourra prendre ponr le potentiel, la forme : 

 U(X / a)=y . K(X) , 



qui donne Ies deux composantes X et Y de la force, en employant 

 une methode naturelle, que nous allons montrer plus loin : 



2 D cu. 



?x ' K'(X) 

 Y(V) = K(A)-y . jy- .— y, 



c U. 1J 



ou D est le determinant fonctionnel de x et y, fonctions de A et 

 a, qui est egal a : 



i / ...-'. X > 



— — 2y — A sin — = 



1/fJL \ ' l/a y 



Ces formules comprennent toutes Ies forces pour lesquelles Ies 

 cycloides considerees sont des brachistochrones. 

 En particulier si 



K = C 10 . 



nous aurons â faire avec une force constante en orandeur e', de di- 

 rection parallele a Oy. Si Oy est vertical, nous retrouverons la 

 propriete de brachistochronisme de la cycloîde, pour la pesanteur. 



III. 



14. Revenons au cas o-eneral ou (S) est ane surface quelconque 

 et supposons que Ies synchrones 



A = t 



representent Ies lignes de niveau de la surface (S), pour le po- 

 tentiel donne ; cela veut dire que v depend seulement de X, donc : 



v=<A). 



Alors l'equation (5) devient : 



(9) A'* [ E~^ (A) ? '2 (X-t ) ] + G = o 



La relation (S) nous montre qu'il n'y a pas dans ce cas des 

 trajectoires qui rencontrent Ies synchrones sous un ariile constant. 



