BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



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satisfaisant aux conditîons (E). La fonction y { substituie â la place 

 de y dans J donne 



Cette fonction fournit-elle bien le minimum de J ? 



L/analogie de ce qui se passe pour l'equation dffferentielle du 

 second ordre *) nous porterait â repondre par l'affirmative ; ce se- 

 rait â tort, comme je vais le montrer, 



Soit k une quantite positive plus petite que ~k i et considerons la 

 difference J — k, que l'on peut ecrire, y etant supposee verifier Ies 

 conditîons (E), 



j»- k =r[(S)- kA( ^] dx - 



En integrant par parties, l'on a 



i, 



dy d 2 y 

 dxoV 



SW>[S- kA H dx - 



Cette integration par parties est legitime, mente lorsque la de- 

 rivee premiere subit un sânt hriisque en un point x=?j compris 



entre a et 6, pourvu que l'on ait 



d 2 yl __ 



dx 2 J 



o. De meme 



d 3 > 



x = t 



dx : 



3 P 



our- 



rait etre discontinue (mais fmie) au point £, si toutefois l'on a y(^)=o. 

 La pârtie tout integree est nulle, en vertu de (E) ; ii reste donc 



'b 



Jo-k 





y 



d*y 

 dx 1 



kA(x)y 



dx. 



Supposons maintenant que l'on puisse trouver une integrale de 



requation. 



d 4 y 

 (2) ^ — kA(x)y=-o, 



satisfaisant aux conditions 



dy_ pour X 

 y dx 



j y=o 

 ~a et d 2 v 



d 2 y_ pour X 



ţdx- 



— P 



a<*<b] 



*) Voir PlGARi). Trăite" d'Analyse, III, p. iii, ainsi que notre these, Ânnales de VEcoît 

 normale 1909, oii nous a.vons trăite des problemes isoperimetriques li6s aux autres valeurs 

 «ingulieres. 



