BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 165 



Să fac în ecuaţiunea (3) X egal unei constante pur imaginare 

 (spre simplicitate X = ]/ — 1 = i) şi să caut soluţiile reale ale 

 ecuaţiunii cari se anulează în a şi b. Ecuaţiunea (3) ia forma 



&Z (1 \l 



Funcţiunea lui Green corespunzătoare este : 



G(x,£) = sinhlx — & 



x 



1 sinh(x — a) sinh(£ — b) -\- sinh(£ — a) sinh(x — ■ b) 



2 sinh(b — a). 

 Ea este o soluţiune a ecuaţiunii 



d 2 z 

 dx^- Z== ° 



şi satisface la aceleaşi condiţii ca şi acea din cazul precedent. Ca 

 şi acolo suntem conduşi la o ecuaţie integrală de forma (10). Există 

 în consecinţă o infinitate de soluţii reale ale problemului cores- 

 punzătoare la valori ale lui ţ/ v ce pot fi reale şi mai mici ca - sau 

 pur imaginare, E uşor însă de văzut că soluţii corespunzătoare lui 

 J/v real nu există. In adevăr, acestea sunt funcţii ale lui Bessel ce 

 se anulează în a şi b ; dar se constată fără greutate cu ajutorul lui 

 (1) că o funcţie a lui Bessel cu indice real şi argument pur imagi- 

 nar nu se poate anula mai mult ca odată. Valorile lui J/v cores-' 

 punzătoare problemului propus sunt în consecinţă toate pur ima- 

 ginare. Punând 



H in (ix) == cos(nlogx) S^iz) -f- sin(nlogx) S 2 (ix) 



î in (ix) — — cos(n log x) S 2 (ix) + sin(n log x) S 4 (ix) 



unde S^x) şi S 2 (x) sunt funcţiunile întregi ce intrau şi în expresiu- 

 nile lui Hj n (x) şi Ii n (x), soluţiile cerute sunt 



l/x[H +|/ -(x)î +y -(a) - l +v7k (x) H +y -(a)] 5 

 Vk fiind o rădăcină a ecuaţiei 



H +y; (b) î +y; (a) - î +y; (b) H + ,,;(a) = o. 



Se ajunge la rezultate analoage, căutând soluţii (3) a căror deri- 

 vată se anulează în a şi b sau soluţii periodice. 



