166 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



PROBLEMĂ DE GEOMETRIA INFINITEZIMALĂ 



DE 

 O. ŢIŢEICA 



Se dă pe o suprafaţă S o reţea de curbe (u, v), în ce caz există 

 pe tangenta la una din curbe un punct care să descrie o suprafaţă 

 Sj având normala paralelă cu tangenta la cealaltă curbă? 



i. Să presupunem mai întâiu că reţeaua în chestiune este or- 

 togonală. Normala în M t fiind paralelă cu tangenta MU care e 

 perpendiculară pe tangenta MV, va fi şi ea perpendiculară pe MV. 

 Aşa dar MV va fi o tangentă suprafeţei S 1 în M 1? şi Sj va fi a doua 

 suprafaţă focală a congruenţei formate de dreptele MV. In acest 

 caz există prin urmare un punct şi numai unul pe MV care să 

 descrie o suprafaţă Sj având normala paralelă cu MU. De altfel, 

 atunci există şi pe MU un punct M 2 care să descrie o suprafaţă S 2 

 având normala paralelă cu MV: punctul M 2 este al doilea focar al 

 dreptei MU. Aşa dar, în acest caz simplu problema este deslegată. 



2. Să presupunem acum că reţeaua nu mai este ortogonală, deci 



' ^ 9x 9x 9x 9x , 5y 9y . 3z 9z 

 £•* du 9v 9u 9v (9u <9v 3u 9v 



Atunci, dacă suprafaţa S t există, ea e înfăşurată de planul 



3x 3v 3z 



(i) x~ + Y^ + Z^-=0. 



x du e'u du 



Punctul de contact Mţ (x 4 , y 1? z.j) se va căpăta alăturând ecua- 

 ţiei (i) şi pe cele două următoare 



. ■ v __ 9H de Vv . frx _ 9® 



Insă M i găsindu-se pe MV, coordonatele sale sunt de forma 



<9x 5y 9z 



x i = x + t i^ Yi^y + ti^ z i = z + t i5 v 



