Integration de Téquation différentielle 



(a> + 020, + c,x')^-\- (a, + btxf£ + aoy = 0. 



a 



^ette équation, qui se présente assez souvent dans des questions d'Astronomie et de 

 Physique mathématique, a été Tobjet d'un tres-grand nombre de recherches. Euler 

 s'en est occupé le premier dans ses Institutiones Calculi Integralis, et c'est en traitant 

 des équations particuliéres de cette espece, qu'il a pose les fondements de la plupart 

 de nos méthodes ordinaires dlntégration. Apres lui, parmi les savants qui ont contribué 

 au progrés du calcul integral, il en est a peine un qui ne se soit occupé quelquefois 

 de rintégration de tel cas particulier de cette équation. M. Liouville a le premier 

 abordé la question dans toute sa généralité. La méthode ingéuieuse dont il sest servi, 

 était fondée sur son celebre "Calcul différentiel a indices quelconques.'" Cependant, par 

 suite d'une certaine indétermination attachée encore au calcul noiiveau, les intée-rales 

 données par M. Liouville ne pouvaient étre considérées comme la solution définitive 

 du probléme, quoiqu'elles donnent les indications suffisantes pour la trouver par les 

 méthodes ordinaires. Plusieurs savants se sont occupés de ce travail complémentaire; 

 il faut avant tous nommer M. Spitzee, qui a consacré a cette étude plusieurs 

 mémoires dont les resultats les plus remarquables sont réunis dans son ouvrage: 

 Studien uber die Integration linearer Differential-Gleichungen, Erste Fortsetzunq, Wien 

 1861. Nous renvoyons ä cet ouvrage pour des détails sur Thistorique du sujet, ainsi 

 que pour Texposé des méthodes d'intégration jusqu'ici employées. On y trouve une 

 analyse approfondie et consciencieuse de la question, qui nous a souvent guide dans 

 nos recherches. 



Mais malgré ces travaux, il n'a pas encore été donné d'intégrales satisfaisantes 

 ii tous les rapports. Celles de M. Spitzee exigent souvent que la variable indépen- 

 dante soit censée comprise entré certaines limites. Parfois aussi, les formules proposées 

 ne donnent qu'une intégrale partic;uliére. Une méthode générale d'intégration ä Tabri 

 de toute objéction a été du reste toujours ä désirer. Le but principal du present 

 mémoire est, en prenant pour point de départ les travaux de M. Liouville, d'en 

 proposer une et. de trouver, a son aide, des intégrales complétes qui ne soient assujetties 

 il aucune restriction relativement å la valeur de la variable indépendante. 



