INTEGRATION D UNE JEQQATION DIFFEREN T lELLE. 5 



quil soit plus grand que la partie reelle de /*. A cette condition, la valeur proposée 



D f{x) devient en effet indépendante de m. *) 



Remarquons du reste, quant ä la fonction F, qu'il importe dans le calcul diffé- 

 rentiel a indices quelconques, de la définir comme Ta fait M. Liouvillb. Ainsi, pour 



X = a-\- /y^• 

 quand « > U, on pose comme ä rordinaire 



{k) = r{aJ^[3i)^L-'z''+^'-'dz (6); 



mais du reste on définit cette fonction de telle sorte que méme pour des valeurs < O 

 de <i, elle satisfasse a la propi"iété fondamentale 



xr{k)^r{?.-\-\) (7). 



Donc r{?.)^ toujours bien déterminée, ne devient évidemment infinie que pour des va- 

 leurs de ^ entiéres et negatives ou zéro. 



Nous avons donné, dans le mémoire cité, Texposé des propriétés les plus re- 



marquables dont jouissent ces dérivées D f{.z), définies par la formule (5). Parmi 



les formules que Ton y trouve démontrées, il en est principalement deux **) dont nous 

 avons besoin pour la transformation de Téquation (3). 

 La premiére est celle-ci: 



'-" ■■ ■■ ■■■ (O, 



yWD;^^;v^(^')=f (-i)V,D^;;(y-'''(^).v(^)) (8), 



ou 



(f'(x) = ao -j- a^x -\- a.x- -|- • • • + «««" 



ip{x) est une fonction quelconque et //; désigne le coefficient ^i^ — ^ — 



t 



La seconde formule dont nous ferons usa^e est la suivante: 



t = r — 1 , 



D" + >)=^-D" D»+:^ ^=^^TT-./V) (9)' 



x,x„ J ^ ■' x,x„ ■' ^ ■' ' ^-^p r(«— r— u + 1)' ^ ' ^ ^' 



qui exige seulement que 



soient des fonctions continues et finies dans Tintervalle de x^ k x. 



fix), f'(x),f"{x)...f %) 



*) Pour s'en convaincre, il suffit de remplacer dans la formule (5), m par 7n+p, p désiguant un nombre entier 

 et positif quelconque. Alors, supposant m — u>0 quant h la partie reelle, nous avons 



,-,x 





x^ 

 (m+j) — fi — V)(m-\-p—fji—2). ..{m—/j) . 



r{m+p~/ii) 

 ") 1. c. les formules (34) et (14) 



