6 HJ. HOLMGREN, 



Revenons raaintenant a la valeur (4) de y; par sa substitution dans Téqu. (3) il 

 viendra d'abord 



A,D'" + '^ + 4D" + '^ + AD" 0-0 (10); 



et il s'agit de déterminer la fonction z et les constantes ,«' et a;» en sorte que cette équa- 

 tion soit identiquement satisfaite. 



En ayant égard aux valeurs (2) de Ai et de A,, on trouve par la formule (8) 



A,!)" + % = D" + \ J ,.) - (^ + 2), D" + ' ( Jl.) + (^ + 2), Y)\A,z) 



oii, pour abréger, les indices x, x,, sont omis. L'équation (10) se transforme alors en 



D'" + W-) + D'" + '(4,-(a+2),4). + D^(^„-(,« + l)4 + (^ + 2),^:). = (11). 



Maintenant, en vertu de la formule (9) on a 



ä la condition que AiZ soit continue et finie dans lintervalle de Xo a x. Ensuite la 

 méme formule donne 



D" + 'D{A,z) + D" + '{A-tu^2)J,)z^D" + \D{A,z) + {A-{,u^2)A,)z)^ 

 ^T)''{mA,z) + D{A,-{.u + 2)X)^)V^^^^~(^{Ä,z)+(A,-iM + 2),A^ 



pourvu que D(J.23)-|-Mj — {f-i-\-2)j^AAz soit finie et continue depuis x., jusqu'ä x. 



Faisant successivement usage de ces deux resultats pour la transformation de 

 réquation (11), on arrive aisément ä la transformée 



DyDV.^) + D(.4,-(,a + 2)X)^ + (^4„-(,« + l)A + (^ + 2)X)H 



Cette formule exige seulement que les expressions 



A,z et D(A,z)-\-(A, — {^ + 2\a[)^ 



soient finies et continues dans Tintervalle de Xo k x. Alors les premiers membres des 

 (jquations (12) et (10) deviennent identiquement égaux. Cliaque valeur de z qui satis- 

 fait a Téqu. (12), conjointement avec certaines valeurs des constantes ,« et Xg, donne 



