INTEGRATION D UNE EQUATION D IFFEEENTIELLE. 



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3) Lorsquil arrive qtie, des parties reelles de ,«' — a-\-2 et jn' — h-\-2, Tune, celle 

 de ,ii' — a-\~2, p. ex., est ^1, tandis que celle de ju' — b-\-2 ^0, on aura aussi 

 la partie reelle de fi" — a-{-2 ^1, et celle de /u" — b-\-2 ^0. 



Donc les deux intégrales particuliéres en (30) obtiennent des valeurs finies et 

 déterininées dans le cas 1) pour |W=^', et dans le cas 2) tant pour ^=^' qiie pour 

 ,u=^,u'\ quelle que soit du reste la valeur de x, reelle ou imaginaire. 



Il nen est pas de méme dans le cas 3), p. ex. lorsque 

 lu' — a-\-2 ^1, niais fi' — b-\-2 ^0, 

 quant aux parties reelles. Néanmoins, on peut satisfaire ä Téquation de condition (29) 

 par a;=Ä^o=" tant pour l^^=f^' que pour ^=,w". Mais, en vertu de la condition que 

 /(*') doit étre finie et continue de Xo ä x, il faudrait alors supposer de telles valeurs de x 

 que /^ ne se trouvåt pas comprise dans Tintervalle de c. ä x; par conséquent, les 

 intégrales n'auraient pas toute la généralité désirable. Parfois, c.-ä.-d. lorsque la partie 

 reelle et negative de jul — b-\-2 est numériquement supérieure a celle de n' — a-\-2, 

 on peut aussi satisfaire ä la condition (29) par x^+^. Cependant les intégrales 

 correspondantes ne seraient non plus finies qu'en supposant x comprise entré certaines 

 limites. Sans nous arréter a de telles formes dlntégrale, nous allons en chercher d'autres 

 de la forme (30) qui ne soient assujetties ä aucune restriction relativement ä la variable 

 indépendante x. Avant de nous en occuper, il importe d'examiner les conditions pour 

 que la formule (30) donne en réalité Tintégrale générale de Téquation (25). 



§ 3. 



Recherche sur la formule (30). 



Dans le § précédent, nous avons désigné par a, b, f-i' et ,«" les quantités 



u 



j5-3+V'(i5-l)'-4r 



^"^ ^-^-^r^^'-^ ^a + 6-3-^' 



(33), 



(34). 



Réciproquement on a 



p^a-\-b 



q^—alS—ba J (35), 



r = Ca' + l)(//"+l) = (/.+ l)(a + 5-/*-2) 



oii pour /n on peut prendre a volonté // ou /n" ; puisque la valeur de r nen change pas. 

 Maintenant, si dans Téqu. (25) 



. {x- a) {x-(i)y" + {px + q)y +ry^O (36) 



