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HJ. HOLMGREN, 



on substitue les constantes a, b, ,« aux constantes p, q, r, on peut la proposer sous 

 Inne ou Tautre des deux formes 



ou 



(^,__.«) {x-~-[i)y' + (a(^'-/?) + b{x~a))y' + (,«/+ 1) (,a"+ l)y = O (37) 



{x-a) {x-^)y" + {a{x-li) + b{x~a))y' + (,a+ 1) (« + 6 — « — 2)?/ = O (38), 



en prenant poiir ,« Tune quelconque des quantités ju' , u" en (34). Cest sous Tnne ou 

 Tautre de ces formes que nous proposerons désormais notre équation. 

 Une intégrale de cette équation est, suivant la formule (30), 



.;/=^D;^^/a;— «) (^ — /^) +Bl)^^,(x — ccf {x — ^) (39), 



expression finie et déterminée quelle que soit x^ pourvu que les parties reelles de 

 jLi — a-|-2 et de jn — b-\-2 soient >0 simultanément au moins pour /*^,a'. Cette condi- 

 tion n'est pas nécessaii^e pour des valeurs entiéres et positives de ,m. 



Il reste cependant ä savoir si les intégrales données par cette formule dans 

 lesquelles entrent deux constantes arbitraires, sont en effet les intégrales générales. 

 Il faut et il suffit pour cela, comme nous le savons, que le rapport des deux intégrales 

 particuliéres ne soit pas constant. Nous allons maintenant examiner cette question. 



.11 s'afi:it de trouver si un rapport de la forme 



ppc 



D (x—u) (x—isy 



/i I jv—a+l^ ^_A' — 6 + 1 



D J»-— c) 



(X- 



(40), 



ou ,«, a, b sont quelconques, peut étre indépendant de x. Nous supposons, bien entendu, 

 que lorsque ,it nest pas un entier positif ou zéro, les parties reelles de ,« — a-)- 2 et 

 ,1* — 6 + 2 sont >0. 



En vertu de la definition (5), on a 







37)DJ(a— 2) (2 — «) (^ — /^) ch = Y) (p{x) 



K 



X 



:D \(x—z) \z — a) 



{z — l^y dz^I) tp{x) 



(41); 



ou, pour abréger, nous avons pose 



X 



r(m — u) 



H'{x)- 



— Aix — z) 



r(m — ,u)J ^ 



{z — «) [z — fy) ''^^^^- 3 ('-c — «) (« — />) 



(42). 



