INTEGRATION d'uNE BQUATION D IFFÉKENTIELLB. 13 



Par m on doit entendre un nombre entier et positif quelconque, pourvu qu'il 

 soit plus grand que la partie reelle de jn- 



Il s'agit donc de tvouver si le rapport (40) ou, comme on pent Técrire maintenant, 



Ä-"/f' (w), 



peut se" réduire å une constante. Cela revient ä examiner si Téquation 



4d"V(*') + 5d"V(^) = o 



ou réquivalente 



i =711 — 1 



Ä(p{x) -^ Bipix) ^ ^ C.(x—a)' (44) 



2 = 



peut avoir lieu en déterminant convenablement les constantes A, £ et les C,;. 



Nous prouvei'ons d'abord que cette équation ne peut pas subsister, si Ton suppose 

 nulles toutes les constantes C;, c.-ä.-d. nous prouverons que Téqu. 



Äy(x)-{-Bip(a=)^0 ou fg = -^ (45) 



est impossible. A cet eftet, en substituant dans Texpression (42) de (f{x) 



et dans celle de ip{x) 



on aura 



1 



9^(^)= nM-» r K^"~^^) " (a — /i-^(x — cc)ic) du (46) 



r{»i—u) 



o 

 et 



1 



H'^)- r(L,u) j (l"^0 « ^ (/^—cc + {x — ^)u) ^ du (47>. 



o . - 



Les parties reelles de m — ju, ,a — a-j-2 et ,« — b-\-2, sont >0 par Thypothése, et par 

 conséquent aussi celles de m — a-\-2 et de ?n — b-\-2. Mais nous convenons de supposer 

 qu'aussi les parties reelles de m — a-f-^ ^t de m — b-\-l sont > O, ce qui est pennis, 

 puisque m peut étre choisi aussi grand que Ton veut, sans que les valeurs de D"'^(a-') 

 et D'^tp(x) en (41) en soient altérées. 



Cela pose, la formule (46) donne en tous cas pour x = ct 



(p{ri) = 0. 



Pour x^/i, on a, par la méme formule, 



ty 

 O 



