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or cette expression ne peut devenir nulle, puisque noiis supposons c. et ^ inégales et 

 la partie reelle de in — fx >0; donc 



^(/?) différe toujours de zéro. 



Par un raisonnement analogue pour la formule (47), on trouve que 



v(/^)-o 



loais 



i/^(«) différente de zéro. 



Concluons donc que le rapport 



est essentiellement une quantité variable avec x, sa valeur étant zéro pour x=-ce et Tinfini 

 pour x = (i tout en restant continue dans Tintervalle. Donc Téquation (45) est inadmissible. 

 Pour satisfaire, s'il est possible, ä Téquation (44), il faut donc supposer qu'une 

 au molns des constantes d différe de zéro. Or, observant que Ton peut écrire les 

 valears (42) de (p{x) et ip{x) sous la forme 



/ \ T^^~'"/ s,u— «/ — («— wO + 1/ ,-f.u — m — {b—vi)->r-i 



V>i^) = ^oo,a (•« — f'=) (« — A) 



/ \ TN," — »'/ ^it — in — (a — m)-\-i, ^^u - m —(b —m) -\- \ 



i/'('i') = D^.^ (*— «) {x — ft) 



il s'ensuit, vu la formule (30), que 



y = A <p(x) + B ipix) (48), 



ou A et B sont des constantes arbitraires, est une intégrale de Téqu. 



(x — a) (x — /%" -|- ((a — m) (x — /:•) -|- (^ — »i) (■« — ci))y' 



+ (,u — m+l)(a + 6 — m— ,u — 2)?/ = (49). 



La formule (48) représente méme Vintégrale générale de Téqu. (49), le rapport —— 



n'étant pas une constante, d'aprés ce qui précéde. Donc le premier membre de (44) 



A(p{x)JrBil-'{x) 



peut représenter cliaque intégrale particuliére de Téqu. (49), en choisissant convenable- 

 ment les constantes A et B. Par conséquent, pour que Téqu. (44) puisse avoir lieu 

 sans supposer nulles toutes les constantes Cj , il faut et il suffit que Téqu. (49) adraette 

 une intégrale particuliére algébrique et entiére, différente de zéro et d'un degré in- 

 férieur k ra. 



Nous sommes donc conduits ä chercher les conditions auxquelles une équation 

 de la forme 



(^._«)(^_^y + (,(^_^)_j_5(^,_«))y + (,„'4_l)(,,"_j_l)^_0 (50), 



(ou ^" = aH-6 — lu' — 3) 



