INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 15 



a une iutégrale particuliére algébrique et entiére 



,jJ^a{x~ay (51), 



ou nous devons considérer C^ ^0, k étant du reste un entier positif quelconque ou zéro.' 

 Substituons Texpression (51) en (50): il viendra d'abord, en ordonnant suivant 

 las puissances de x — «, 



/ = o i=o 



ou, puisque 



'^C"'+«H- 1) (,"" + «■+!) a{x — ay + («~/?)'^z(a + z — 1) aix — ay-' = 0. 



2=0 i=0 



Pour identifier cette équ., il faut d'abord poser 



C«' + Ä; + l)(,u" + ^ + l)C,-0 (52), 



puis 



C«' + ^•+l)Cu" + ^■+l)C, + («-/?)(^• + l)(a + ^•)a•.l-0 (53), 



depuis i=0 jusqu'ä i^^k — 1. 



Puisque nous devons supposer Ct < O, la condition (52) exige que 



(,u'-\-k-\-l)iu" + k + l)^0 (54), 



c.-ä.-d. que Tune ou Tautre des quantités ,«' et ,u" soit un nombre entier négatif (<0). 

 Cest une condition nécessaire pour que Téqu. (50) ait une intégrale particuliére de la 

 forme (51). Nous allons montrer que cette condition est aussi suffisante, ce qui revient 

 a faire voir que Ton peut toujours satisfaire ä la condition restante (53). En effet, 

 de (53) résulte 



^^/o _ x*-« (i+1) (i + 2) ...k. (a + i) {a + i+1) . ■ ■ {a + h-D ^ , 



i ^' ^ {u' + i+l){u' + i+2)...{,,i' + Jc).(fi" + i+l)ia" + i+2)...{.u" + k)'^k ^^^)' 



laquelle valeur de 6\ satisfait par conséquent ä (53) depuis z^O jusqu'ä i=Ä; — 1, pourvu 

 qu'elle ne devienne pas infinie pour certaines valeurs de i. Or cela ne peut arriver 

 que lorsque /*' et /u" sont k la fois des nombres entiers négatifs, dont Fun numérique- 

 ment ^ k. Il faut donc distinguer les deux cas suivants. 



1. Une seule des quantités /u' et ,«" est un noinbre entier <0, p. ex. 



,a' = -(m + l), 



ou m est un entier positif ou zéro. Alors, pour satisfaire ä la condition (54), il faut 

 prendre k = m, apres quoi la formule (55) fournit des valeurs iinies et déterminées 

 aux constantes C,, dont C^ seule reste arbitraire. L'équation (50) a par conséquent 

 une seule intégrale algébrique et entiére du degré m. 



