16 HJ. HOLMGREN. 



2. On a simultanément 



^' = _(m + l), ^" = — (n + 1), 

 ■m et n étant des nombres entiers positifs ou zéro et 



m ^ n. 



Si, pour satisfaire ä (54), on prend k=m, la formnle (55) donne des valeurs fiiiies 

 et déterminées pour toutes les constantes C,-; C„, reste arbitraire et Téqu. (50) a tou- 

 jours, comme précédemment, une intégrale algébrique du degré m. 



Si Ton prend au contraire k^n lorsque n>m, le dénominateur dans Texpression 

 (55) de Ci s'annulle pour i--^0, 1, 2 . . . m. Il faut alors remonter k Téqu. (53). En y 

 posant successivement 2 = 0, 1, 2 . . . 711 — 1, les constantes C, Ci, . . . . C^-i s'expriment 

 comme précédemment en C„,, qui reste arbitraire; car, en continuant de prendre i=^m, 

 on arrive ä la condition 



(a-\-m) C,„H.i = 0, 



indépendante de C,,,, mais qui exige C„,+i = 0, a moins que a-\-m ne soit egal ä zéro. 

 Si cela n'a pas lieu, il faut prendre C,„+i = 0, et la formule (53) exige pour i = in-\-l, que 



(a + m+1) a+2 = 0; 



donc il fallait aussi prendre C™+2 = 0, a moins que Ton n'ait a-f-m-f-l^O, et ainsi de 

 suite. D'ou nous conckions qu'il fallait prendre 



t^OT+l ^ (-^m+2 • • • = C„ = O , 



c.-ä.-d. que nous retomberions sur Tintégrale déjä trouvée du degré 771, a moins que 

 Ton n'ait 



a = — r, 



en désignant par r un entier compris entré in et n — 1. Dans ce cas, au contraire, on 

 peut aussi satisfaire a la condition (53) en prenant d'abord 



t^»ii+i ^^^ 0,„+2 • • • = G,. =^ O, 



apres quoi les constantes C,.+i, C,.+.j • • • 6\_i s'expriment par des valeurs finies en C„ qui 

 reste arbitraire. L'équation (50) a par conséquent deux intégrales particuliéres, algé- 

 briques et entiéres, dont nous pouvons considérer Tune du degré m, et Tautre du degré n. 

 Remarquons au reste que dans ce dernier cas, la quantité b dans Téqu. (50) est, 

 comme a = — r, un entier négatif compris entré — m et — (n — 1), en vertu de la rela- 

 tion b = juf -\- fj," — a-|-3 = — m — n-\-r-\-l. D'ou il suit que la condition relativement ä 

 n et k b peut étre remplacée par cette autre, que ,«' — a-\-l = r — m et lu.' — b-\-l^=7i — 1 — r 

 soient des nombres entiers positifs ou zéro. Nous pouvons donc résumer le resultat 

 obtenu dans le théoréme suivant. 



Théoréme 3. 



La condition tiécessaire et suffisante pour que Véquation 



(,,_«) (.^._/?y + («(^_/y)_|_5(,,,_e.))y-f(,«'+l) (,a"-|-l)y=0 

 (ou ,u!' = a-\-b — jii' — 3) 



