INTÉGEATION d'uNE ÉQUATION UIFFÉRENTIELLE. 17 



ait une intégrale particuliere algéhrique et entiere (différente de zéro), est que Vune ou 1'autre 



des quantités ^ et jn" soit un nomhre entier < 0. Lorsque Vune seidement des quantités f^ et 



fjC' est de cette forme, p. ex. jli' =^ — (m-\-l), ou ni est un entier ]) o sitif ou zéro, 1'équa- 



tion a une seule intégrale algébrique et entiere, qui est alors du degré ni; lorsquon a 



a la fois 



,u' = -0» + l), ,«" = — (« + l) 



et m ^ n, Véquation a toujours une intégrale du degré m ; elle en a aussi une autre du 

 degré n, si de plus p! — a-\-\ et ,«' — h-\-\ sont des nomhres entiers piositifs ou zéro. 



Revenons maintenant ä Téqu. (49). La condition nécessaire et suffisante pour 

 qu'elle admette une intégrale particuliere de la forme 



1 = 



c.-ä.-d. algébrique et entiere d'un degré inférieur a ni, c'est, d'aprés le théoréme précé- 

 dent, que Tune ou Tautre des quantités 



fji — m et a-\-b — ,u' — 3 — m = ,u" — m 



soit un nombre entier négatif dont la valeur numérique ne surpasse pas ??i, ou, ce qui 

 revient au méme, que Tune ou Tautre des quantités j^i' et /u" soit un entier positif (ou 

 zéro) inférieur k m (comme nous Tavons du reste supposé d'avance). Voila donc le 

 seul cas oii Téqu. (44) a lieu, en déterminant convenablement les constantes A et B. 

 Or, lorsque cela arrive, le rapport B en (43) ou en (40) est réellement une constante. 

 Donc, posant en (40) 



/u — Å,/u — a-\-l = o, ju — 1^ -|- 1 = T, 



nous avons démontré, qu'en supposant 



a+l>0 et T+1>0 



quant aux j^arties reelles, le rapport des deux fonctions 



^l,M-<^)\^ -(^1' et T)l^^{a^-cc)\x~[i)\ , 



est constant seulement lorsque ^ ou A — o — r — 1 est un nomhre entier positif ou zéro. 



§ 4. 



Intégrale généraie de Téquation (1). 



Nous pouvons maintenant former dans tous les cas possibles Tintégrale généraie 

 de réqu. 



{x-cc){x — [i)y"+{px^q)y'-^ry = (56). 



Nous la supposons réduite, comme précédemment, å la forme 



(*'-«) (*'-%"+(ö(.T^/:?) + K^'-«)V + (,u'+l)(,a" + l)j/ = (57) 



(ou iu" — a-\-b — ju' — 3), 



K. Vet. Akad. Handl. B. 7. N:o 9. 3 



